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[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
.
[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é composta: há um
interno em e um externo que recebe a expressão . - Existe um parâmetro real
(não foi dado valor numérico). - Para desenhar o gráfico precisamos saber domínio, assíntotas, monotonicidade, concavidade e pontos notáveis (interseções, pontos de inflexão).
Passo 2
Determinar o domínio (passo essencial antes de desenhar). Vou usar a regra básica de logaritmos:
está definido apenas para
. Aplicando isso duas vezes:
- O
interno requer (pois só existe para ). - O
externo exige que o seu argumento seja positivo:
Resolvo essa desigualdade para
. Como
é função crescente, posso isolar
:
Aplicando a função exponencial (que preserva desigualdades porque é crescente), obtenho
Combinando com
, o domínio é
Observação didática rápida: a exponencial é a função inversa de
; por isso para passar de
para
algo usamos
.
Passo 3
Comportamento nas extremidades do domínio (limites), importante para assíntotas e para esboço.
- Quando
: temos . Então o argumento do externo é
logo
Portanto ao aproximar
de
pela direita,
cresce sem limite.
- Quando
(approximação pela esquerda do extremo do domínio): , então
e daí
Conclusão: existe uma assíntota vertical na reta
, com
ao aproximar dessa direita do domínio; e no lado
a função vai a
(não é uma assíntota horizontal, é crescimento ilimitado).
Passo 4
Monotonicidade: vamos derivar
com
.
Regra usada (cadeia):
. Aqui
Logo
Análise do sinal: para todo
temos
e
(pois estamos no domínio), portanto o denominador é positivo e o sinal de
é negativo:
Didática: isso significa que
é estritamente decrescente em todo o domínio — nada de máximos/minimos locais interiores.
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão (segunda derivada). Vou derivar
mais cuidadosamente (onde
).
Cálculo:
(Se quiser, pode reescrever esse cálculo passo a passo: derive
usando produto/ cadeia; o resultado acima é a forma simplificada.)
Observações sobre o sinal de
:
-
e , então o sinal de é o sinal de . - Assim
quando , isto é quando
- E
quando (mas ainda com para ficar no domínio).
Logo a concavidade muda em
: para
a função é côncava para cima (convexa), e para
é côncava para baixo.
Além disso, em
temos
Portanto o ponto de inflexão coincide com a interseção com o eixo
: o gráfico cruza o eixo
em
.
Passo 6
Pontos notáveis e efeitos do parâmetro
:
- Domínio:
. - Comportamento nas bordas:
e . Assim há uma assíntota vertical em . - Monotonicidade:
é estritamente decrescente em todo o domínio (não há máximos ou mínimos internos). - Concavidade: muda em
. Para a função é côncava para cima; para é côncava para baixo. - Interseção com o eixo
: única, em . Não existe interseção com o eixo porque não pertence ao domínio. - Valor em
(quando pertence ao domínio, isto é quando ou seja ): .
Interpretação geométrica simples para o esboço:
- O gráfico começa em
quando vai para , desce continuamente e de forma convexa até cruzar o eixo em (neste ponto ); depois continua descendo, agora côncavo para baixo, e cai para ao se aproximar de pela esquerda. A distância entre os pontos especiais é fixada por um fator : .
Resposta
Domínio:
Assíntota vertical: (com
ao aproximar pela esquerda)
Comportamento em :
quando
Monotonicidade: em todo o domínio, logo
é estritamente decrescente
Ponto de inflexão e intercepto em -axis:
(a função cruza o eixo
aqui)
Concavidade: côncava para cima em e côncava para baixo em
Assíntota vertical:
Comportamento em
Monotonicidade:
Ponto de inflexão e intercepto em
Concavidade: côncava para cima em