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[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
f(x)=\ln [a+2-\ln (x)].

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função \;f(x)=\ln\big[a+2-\ln(x)\big]\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é composta: há um \ln interno em \ln(x) e um \ln externo que recebe a expressão a+2-\ln(x).
  • Existe um parâmetro real \;a\; (não foi dado valor numérico).
  • Para desenhar o gráfico precisamos saber domínio, assíntotas, monotonicidade, concavidade e pontos notáveis (interseções, pontos de inflexão).

Passo 2

Determinar o domínio (passo essencial antes de desenhar). Vou usar a regra básica de logaritmos: \ln(t) está definido apenas para t>0. Aplicando isso duas vezes:
  1. O \ln interno requer \;x>0\; (pois \ln(x) só existe para x>0).
  2. O \ln externo exige que o seu argumento seja positivo:
a+2-\ln(x)>0.
Resolvo essa desigualdade para x. Como \ln é função crescente, posso isolar \ln(x):
\ln(x)<a+2.
Aplicando a função exponencial (que preserva desigualdades porque é crescente), obtenho
x<e^{\,a+2}.
Combinando com x>0, o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=\big(0,\;e^{\,a+2}\big).
Observação didática rápida: a exponencial é a função inversa de \ln; por isso para passar de \ln(x)<\text{const} para x< algo usamos x<e^{\text{const}}.

Passo 3

Comportamento nas extremidades do domínio (limites), importante para assíntotas e para esboço.
  1. Quando x\to 0^+: temos \ln(x)\to-\infty. Então o argumento do \ln externo é
a+2-\ln(x)\to a+2-(-\infty)=+\infty,
logo
f(x)=\ln\big(a+2-\ln(x)\big)\to +\infty.
Portanto ao aproximar x de 0 pela direita, f(x) cresce sem limite.
  1. Quando x\to e^{\,a+2-} (approximação pela esquerda do extremo do domínio): \ln(x)\to a+2, então
a+2-\ln(x)\to 0^+,
e daí
f(x)=\ln\big(a+2-\ln(x)\big)\to -\infty.
Conclusão: existe uma assíntota vertical na reta x=e^{\,a+2}, com f(x)\to -\infty ao aproximar dessa direita do domínio; e no lado x\to0^+ a função vai a +\infty (não é uma assíntota horizontal, é crescimento ilimitado).

Passo 4

Monotonicidade: vamos derivar \;f(x)=\ln\big(u(x)\big)\; com \;u(x)=a+2-\ln(x).
Regra usada (cadeia): \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui
u'(x)=-\frac{1}{x}.
Logo
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\dfrac{1}{x}}{\,a+2-\ln(x)\,}=-\frac{1}{x\big(a+2-\ln(x)\big)}.
Análise do sinal: para todo x\in(0,e^{\,a+2}) temos x>0 e a+2-\ln(x)>0 (pois estamos no domínio), portanto o denominador é positivo e o sinal de f'(x) é negativo:
f'(x)<0\quad\text{em}\quad(0,e^{\,a+2}).
Didática: isso significa que f é estritamente decrescente em todo o domínio — nada de máximos/minimos locais interiores.

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão (segunda derivada). Vou derivar f'(x)=-x^{-1}u^{-1} mais cuidadosamente (onde u=a+2-\ln(x)).
Cálculo:
f''(x)=\frac{u-1}{u^{2}x^{2}},\qquad\text{onde }u=a+2-\ln(x).
(Se quiser, pode reescrever esse cálculo passo a passo: derive f'(x) usando produto/ cadeia; o resultado acima é a forma simplificada.)
Observações sobre o sinal de f'':
  • x^{2}>0 e u^{2}>0, então o sinal de f'' é o sinal de u-1.
  • Assim f''(x)>0 quando u>1, isto é quando
a+2-\ln(x)>1 \iff \ln(x)<a+1 \iff x<e^{\,a+1}.
  • E f''(x)<0 quando x>e^{\,a+1} (mas ainda com x<e^{\,a+2} para ficar no domínio).
Logo a concavidade muda em x=e^{\,a+1}: para 0<x<e^{\,a+1} a função é côncava para cima (convexa), e para e^{\,a+1}<x<e^{\,a+2} é côncava para baixo.
Além disso, em x=e^{\,a+1} temos
f\big(e^{\,a+1}\big)=\ln\big(a+2-\ln(e^{\,a+1})\big)=\ln\big(a+2-(a+1)\big)=\ln(1)=0.
Portanto o ponto de inflexão coincide com a interseção com o eixo x: o gráfico cruza o eixo x em \big(e^{\,a+1},\,0\big).

Passo 6

Pontos notáveis e efeitos do parâmetro \;a\;:
  • Domínio: \displaystyle\mathrm{Dom}(f)=\big(0,\;e^{\,a+2}\big).
  • Comportamento nas bordas: \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty e \displaystyle \lim_{x\to e^{\,a+2-}}f(x)=-\infty. Assim há uma assíntota vertical em x=e^{\,a+2}.
  • Monotonicidade: f é estritamente decrescente em todo o domínio (não há máximos ou mínimos internos).
  • Concavidade: muda em x=e^{\,a+1}. Para 0<x<e^{\,a+1} a função é côncava para cima; para e^{\,a+1}<x<e^{\,a+2} é côncava para baixo.
  • Interseção com o eixo x: única, em \big(e^{\,a+1},0\big). Não existe interseção com o eixo y porque x=0 não pertence ao domínio.
  • Valor em x=1 (quando 1 pertence ao domínio, isto é quando 1<e^{\,a+2} ou seja a>-2): \displaystyle f(1)=\ln(a+2).
Interpretação geométrica simples para o esboço:
  • O gráfico começa em +\infty quando x vai para 0^+, desce continuamente e de forma convexa até cruzar o eixo x em x=e^{\,a+1} (neste ponto y=0); depois continua descendo, agora côncavo para baixo, e cai para -\infty ao se aproximar de x=e^{\,a+2} pela esquerda. A distância entre os pontos especiais é fixada por um fator e: e^{\,a+2}=e\cdot e^{\,a+1}.

Resposta

Domínio: \displaystyle(0,\;e^{\,a+2})
Assíntota vertical: x=e^{\,a+2} (com f(x)\to-\infty ao aproximar pela esquerda)
Comportamento em 0^+: f(x)\to+\infty quando x\to0^+
Monotonicidade: f'(x)=-\dfrac{1}{x(a+2-\ln x)}<0 em todo o domínio, logo f é estritamente decrescente
Ponto de inflexão e intercepto em x-axis: \big(e^{\,a+1},\,0\big) (a função cruza o eixo x aqui)
Concavidade: côncava para cima em (0,e^{\,a+1}) e côncava para baixo em (e^{\,a+1},e^{\,a+2})

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