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[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
.
[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
Informações dadas que vamos usar:
- A função depende do parâmetro
. - O numerador é
. - O denominador é
.
O objetivo aqui é dar todos os elementos necessários para desenhar (domínio, assíntotas, interceptos, comportamentos perto das assíntotas e caso especial de buraco removível) e explicar passo a passo como obter cada um deles.
Passo 2
Domínio: encontramos onde o denominador é zero. Resolver
dá
Portanto o domínio é
, exceto no caso em que o zero do denominador também zera o numerador (aí teremos um buraco). Vamos checar essa possibilidade mais adiante.
Passo 3
Para entender a forma da curva (assíntota oblíqua), fazemos divisão polinomial do numerador pelo polinômio do denominador sem o sinal negativo. Primeiro fatoramos o sinal:
Chamemos
para simplificar temporariamente; então dividimos
por
. Fazendo a divisão passo a passo:
- Primeiro termo do quociente:
, porque . - Subtraindo, resto parcial:
. - Segundo termo do quociente:
, porque . - Subtraindo, resto final:
Voltando a
(lembre
), temos:
Multiplicando o sinal negativo:
Ou reorganizando:
Nesta forma fica claro: a função é uma reta inclinada mais um termo racional que tende a zero quando
.
Passo 4
Assíntota oblíqua: o termo dominante quando
é
. Logo a assíntota oblíqua é a reta
Explicação didática: quando dividimos polinômios, o quociente polinomial (aqui
) é a aproximação da função para
muito grandes em módulo; o resto dividido pelo divisor tende a zero, por isso a curva se aproxima dessa reta.
Passo 5
Assíntota vertical / buraco removível: o denominador anula em
. Avaliamos o numerador nesse ponto:
Definimos
- Se
, então no ponto a função tem assíntota vertical (com comportamento de ou dependendo do sinal de e do lado de aproximação). - Se
, então numerador e denominador se anulam no mesmo e ocorre um buraco removível: a função simplifica para a reta com um ponto excluído em .
Resolvendo
:
Nesses dois valores de
a curva é exatamente a reta
exceto por um ponto faltando (buraco) em
.
Passo 6
Interceptos e zeros importantes:
- Zeros (interseção com eixo
): são as raízes do numerador . Calculando:
Esses dois pontos sempre são zeros da função (a menos que um deles coincida com
, o que só ocorre para um valor específico de
e seria tratado como buraco).
- Intercepto com eixo
(em ):
Nota prática: se
a função não está definida em
(porque
), então não existe intercepto
nesse caso.
Passo 7
Comportamento perto da assíntota vertical (limites laterais): usando a forma
com
, o termo que explode é
quando
. Como
muda de sinal ao atravessar
:
- Se
então e . - Se
os sinais invertem: e . - Se
não há assíntota vertical: existe um buraco removível, os limites são finitos e iguais ao valor da reta assíntota.
Explicação didática: o sinal do resto
determina para que infinito a fracção tende quando o denominador é pequeno positivo ou negativo; subtrair esse termo da reta determina se a função vai para
ou
de cada lado.
Passo 8
Interseção com a assíntota oblíqua: a diferença entre
e a reta assíntota é exatamente
. Isso só é zero para todos
quando
. Portanto:
- Se
, a função jamais alcança a reta assíntota (ela se aproxima infinitamente, mas não a corta). - Se
, a função coincide com a reta (exceto pelo buraco em ).
Passo 9
Como montar o esboço na prática (passo a passo para desenhar numa prova):
- Marque a assíntota vertical
(linha tracejada). - Marque a assíntota oblíqua
(reta tracejada). - Calcule os zeros
e marque-os (esses são pontos onde a curva cruza o eixo , salvo caso de buraco). - Calcule o intercepto
e marque (se ). - Verifique
: - Se
, desenhe a reta e marque um ponto faltante (buraco) em . - Se
, desenhe dois ramos que se aproximam da reta oblíqua quando e que vão a ao se aproximarem de , obedecendo aos sinais descritos no Passo 7.
- Se
- Para um esboço rápido escolha um valor concreto de
(por exemplo ou ) e aplique as regras acima para visualizar claramente a forma.
Passo 10
Exemplo rápido (para fixar): seja
.
- Assíntota vertical:
. - Assíntota oblíqua:
. -
então ao chegar em a curva vai para pela esquerda e para pela direita (conforme regra do Passo 7). - Zeros em
(os mesmos para todo ). - Intercepto
.
Desenhe a reta oblíqua, a vertical, marque os zeros e o ponto , e ligue as informações respeitando os comportamentos nas assíntotas.
Resposta
Assíntota vertical:
(exceto se
, quando há buraco removível).
Assíntota oblíqua: .
Zeros (interseções com eixo ):
.
Intercepto em :
(se
).
Buraco removível quando , ou seja
; nesses
a curva é a reta
com um ponto excluído em
.
Comportamento próximo a : usando
,
Assíntota oblíqua:
Zeros (interseções com eixo
Intercepto em
Buraco removível quando
Comportamento próximo a
- se
: e ; - se
: e .