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[3.5] Esboce o gráfico da seguinte função:
f(x)=\frac{x^{2}+x-9}{-x-a+1}.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x^{2}+x-9}{-x-a+1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função depende do parâmetro \;a\;.
  • O numerador é \;x^{2}+x-9\;.
  • O denominador é \;-x-a+1\;.
    O objetivo aqui é dar todos os elementos necessários para desenhar (domínio, assíntotas, interceptos, comportamentos perto das assíntotas e caso especial de buraco removível) e explicar passo a passo como obter cada um deles.

Passo 2

Domínio: encontramos onde o denominador é zero. Resolver
-x-a+1=0
x=1-a.
Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,1-a\,\}, exceto no caso em que o zero do denominador também zera o numerador (aí teremos um buraco). Vamos checar essa possibilidade mais adiante.

Passo 3

Para entender a forma da curva (assíntota oblíqua), fazemos divisão polinomial do numerador pelo polinômio do denominador sem o sinal negativo. Primeiro fatoramos o sinal:
f(x)=-\frac{x^{2}+x-9}{x+(a-1)}.
Chamemos d=a-1 para simplificar temporariamente; então dividimos \;x^{2}+x-9\; por \;x+d\;. Fazendo a divisão passo a passo:
  1. Primeiro termo do quociente: \;x\;, porque \;x\cdot(x+d)=x^{2}+dx.
  2. Subtraindo, resto parcial: (x^{2}+x-9)-(x^{2}+dx)=(1-d)x-9.
  3. Segundo termo do quociente: 1-d, porque (1-d)\cdot(x+d)=(1-d)x+(1-d)d.
  4. Subtraindo, resto final:
r=d^{2}-d-9.
Voltando a a (lembre d=a-1), temos:
\frac{x^{2}+x-9}{x+(a-1)}=x+(1-d)+\frac{r}{x+d}=x+(2-a)+\frac{a^{2}-3a-7}{x+a-1}.
Multiplicando o sinal negativo:
f(x)=-(x+2-a)-\frac{a^{2}-3a-7}{x+a-1}.
Ou reorganizando:
f(x)=-x+(a-2)-\frac{a^{2}-3a-7}{x+a-1}.
Nesta forma fica claro: a função é uma reta inclinada mais um termo racional que tende a zero quando |x|\to\infty.

Passo 4

Assíntota oblíqua: o termo dominante quando |x|\to\infty é -x+(a-2). Logo a assíntota oblíqua é a reta
y=-x+(a-2).
Explicação didática: quando dividimos polinômios, o quociente polinomial (aqui -x+(a-2)) é a aproximação da função para x muito grandes em módulo; o resto dividido pelo divisor tende a zero, por isso a curva se aproxima dessa reta.

Passo 5

Assíntota vertical / buraco removível: o denominador anula em x=1-a. Avaliamos o numerador nesse ponto:
\text{numerador em }x=1-a:\quad (1-a)^{2}+(1-a)-9=a^{2}-3a-7.
Definimos
r(a)=a^{2}-3a-7.
  • Se \;r(a)\neq 0\;, então no ponto x=1-a a função tem assíntota vertical (com comportamento de +\infty ou -\infty dependendo do sinal de r(a) e do lado de aproximação).
  • Se \;r(a)=0\;, então numerador e denominador se anulam no mesmo x e ocorre um buraco removível: a função simplifica para a reta -x+(a-2) com um ponto excluído em x=1-a.
Resolvendo r(a)=0:
a^{2}-3a-7=0 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{3\pm\sqrt{37}}{2}.
Nesses dois valores de a a curva é exatamente a reta \;y=-x+(a-2)\; exceto por um ponto faltando (buraco) em x=1-a.

Passo 6

Interceptos e zeros importantes:
  • Zeros (interseção com eixo x): são as raízes do numerador \;x^{2}+x-9=0. Calculando:
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+36}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{37}}{2}.
Esses dois pontos sempre são zeros da função (a menos que um deles coincida com x=1-a, o que só ocorre para um valor específico de a e seria tratado como buraco).
  • Intercepto com eixo y (em x=0):
f(0)=\frac{-9}{-a+1}=\frac{9}{a-1}.
Nota prática: se a=1 a função não está definida em x=0 (porque x=1-a=0), então não existe intercepto y nesse caso.

Passo 7

Comportamento perto da assíntota vertical (limites laterais): usando a forma
f(x)=-x+(a-2)-\frac{r(a)}{x+a-1},
com r(a)=a^{2}-3a-7, o termo que explode é -\dfrac{r(a)}{x+a-1} quando x\to 1-a. Como x+a-1 muda de sinal ao atravessar 1-a:
  • Se r(a)>0 então \displaystyle\lim_{x\to(1-a)^-}f(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to(1-a)^+}f(x)=-\infty.
  • Se r(a)<0 os sinais invertem: \displaystyle\lim_{x\to(1-a)^-}f(x)=-\infty e \displaystyle\lim_{x\to(1-a)^+}f(x)=+\infty.
  • Se r(a)=0 não há assíntota vertical: existe um buraco removível, os limites são finitos e iguais ao valor da reta assíntota.
Explicação didática: o sinal do resto r(a) determina para que infinito a fracção tende quando o denominador é pequeno positivo ou negativo; subtrair esse termo da reta determina se a função vai para +\infty ou -\infty de cada lado.

Passo 8

Interseção com a assíntota oblíqua: a diferença entre f(x) e a reta assíntota é exatamente -\dfrac{r(a)}{x+a-1}. Isso só é zero para todos x quando r(a)=0. Portanto:
  • Se r(a)\neq 0, a função jamais alcança a reta assíntota (ela se aproxima infinitamente, mas não a corta).
  • Se r(a)=0, a função coincide com a reta (exceto pelo buraco em x=1-a).

Passo 9

Como montar o esboço na prática (passo a passo para desenhar numa prova):
  1. Marque a assíntota vertical x=1-a (linha tracejada).
  2. Marque a assíntota oblíqua y=-x+(a-2) (reta tracejada).
  3. Calcule os zeros \;x=\dfrac{-1\pm\sqrt{37}}{2} e marque-os (esses são pontos onde a curva cruza o eixo x, salvo caso de buraco).
  4. Calcule o intercepto y=f(0)=\dfrac{9}{a-1} e marque (se a\neq 1).
  5. Verifique r(a)=a^{2}-3a-7:
    • Se r(a)=0, desenhe a reta y=-x+(a-2) e marque um ponto faltante (buraco) em x=1-a.
    • Se r(a)\neq 0, desenhe dois ramos que se aproximam da reta oblíqua quando |x|\to\infty e que vão a \pm\infty ao se aproximarem de x=1-a, obedecendo aos sinais descritos no Passo 7.
  6. Para um esboço rápido escolha um valor concreto de a (por exemplo a=0 ou a=2) e aplique as regras acima para visualizar claramente a forma.

Passo 10

Exemplo rápido (para fixar): seja a=0.
  • Assíntota vertical: x=1.
  • Assíntota oblíqua: y=-x-2.
  • r(0)=-7<0 então ao chegar em x=1 a curva vai para -\infty pela esquerda e para +\infty pela direita (conforme regra do Passo 7).
  • Zeros em x=\dfrac{-1\pm\sqrt{37}}{2} (os mesmos para todo a).
  • Intercepto y=f(0)=\dfrac{9}{-1}=-9.
    Desenhe a reta oblíqua, a vertical x=1, marque os zeros e o ponto (0,-9), e ligue as informações respeitando os comportamentos nas assíntotas.

Resposta

Assíntota vertical: x=1-a (exceto se a=\dfrac{3\pm\sqrt{37}}{2}, quando há buraco removível).
Assíntota oblíqua: y=-x+(a-2).
Zeros (interseções com eixo x): x=\dfrac{-1\pm\sqrt{37}}{2}.
Intercepto em y: f(0)=\dfrac{9}{a-1} (se a\neq 1).
Buraco removível quando a^{2}-3a-7=0, ou seja a=\dfrac{3\pm\sqrt{37}}{2}; nesses a a curva é a reta y=-x+(a-2) com um ponto excluído em x=1-a.
Comportamento próximo a x=1-a: usando r(a)=a^{2}-3a-7,
  • se r(a)>0: \lim_{x\to(1-a)^-}f(x)=+\infty e \lim_{x\to(1-a)^+}f(x)=-\infty;
  • se r(a)<0: \lim_{x\to(1-a)^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to(1-a)^+}f(x)=+\infty.

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