Identifique, em cada caso, a superfície e comente sua posição em relação aos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que eu identifique a superfície e comente sua posição em relação aos eixos coordenados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície é definida por uma equação quadrática homogênea de grau 2.
- Não há termos constantes nem termos lineares (apenas quadráticos).
As perguntas implícitas que vou responder: qual o tipo de superfície (nome e características geométricas) e como ela se relaciona com os eixos, e (interseções, eixo da superfície, retas geradoras etc.).
Passo 2
Coloco a equação numa forma mais conveniente:
Explicação didática: uma equação quadrática homogênea do tipo
(sem termos constantes) costuma representar um cone com vértice na origem, porque todos os monômios têm grau 2 e a origem satisfaz a equação. Assim, já há forte indicação de que a superfície é um cone duplo (duas “nappes”) com vértice em
. Vou agora mostrar isso de forma mais concreta.
Passo 3
Para ver as direções dos geradores do cone, divido por
(considerando primeiro
):
Explicação didática: escrevendo
e
obtemos a curva em
que é uma elipse no espaço dos “coeficientes angulares”
. Isso significa que as direções das linhas geradoras do cone formam uma elipse de razões distintas nas direções
e
. Conclusão: a superfície é um cone com vértice na origem e eixo coincidente com o eixo
(pois as secções para
constante são elipses centradas no eixo
).
Passo 4
Analiso as secções por planos perpendiculares ao eixo
(planos
com
):
Coloco na forma padrão de elipse:
Explicação didática: isto mostra que para cada
fixo a interseção é uma elipse com semi-eixo paralelo a
igual a
e semi-eixo paralelo a
igual a
. À medida que
cresce, as elipses aumentam proporcionalmente a
. Isso caracteriza um cone elíptico cuja abertura é diferente nas direções
e
.
Passo 5
Intersecções com os eixos coordenados:
- Eixo
: colocar e na equação dá , logo . Portanto a interseção com o eixo é apenas o ponto . - Eixo
: colocar e dá → . Só o ponto . - Eixo
: colocar e dá → . Só o ponto .
Explicação didática: o cone só toca os eixos no vértice; não corta nenhum eixo em ponto diferente da origem.
Passo 6
Intersecções com planos coordenados (mostra as retas geradoras visíveis):
- Plano
: a equação fica
Isto são duas retas que passam pela origem no plano
; elas são geradoras do cone (linhas que pertencem à superfície).
- Plano
: a equação fica
Duas retas no plano
, também geradoras do cone.
Explicação didática: qualquer plano que contenha o eixo corta o cone em duas retas através da origem — o cone é gerado por retas passando pelo vértice.
Explicação didática: qualquer plano que contenha o eixo
Passo 7
Resumo e características finais (didático e prático para a prova):
- Tipo de superfície: cone duplo elíptico (cone quadrático) com vértice em
. - Eixo do cone: eixo
(simetria em relação a reflexões ). - Secções por
(com ) são elipses com semi-eixos (na direção ) e (na direção ). - Interseção com os eixos coordenados: apenas o ponto
. - Contém, por exemplo, as retas
no plano e no plano , que são geradoras do cone.
Resposta
Cone duplo elíptico com vértice em
e eixo ao longo do eixo
.
Para as secções são elipses
com semi-eixos
(direção
) e
(direção
).
A superfície intersecta cada eixo coordenado apenas no ponto .
No plano há as retas geradoras
e no plano
as retas
.
Para
A superfície intersecta cada eixo coordenado apenas no ponto
No plano