Identifique, em cada caso, a superfície e comente sua posição em relação aos eixos coordenados.
x^{2}=4 y^{2}+16 z^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}=4y^{2}+16z^{2}
e pede que eu identifique a superfície e comente sua posição em relação aos eixos coordenados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é definida por uma equação quadrática homogênea de grau 2.
  • Não há termos constantes nem termos lineares (apenas quadráticos).
    As perguntas implícitas que vou responder: qual o tipo de superfície (nome e características geométricas) e como ela se relaciona com os eixos x, y e z (interseções, eixo da superfície, retas geradoras etc.).

Passo 2

Coloco a equação numa forma mais conveniente:
x^{2}-4y^{2}-16z^{2}=0.
Explicação didática: uma equação quadrática homogênea do tipo \text{quadrática} = 0á (sem termos constantes) costuma representar um cone com vértice na origem, porque todos os monômios têm grau 2 e a origem satisfaz a equação. Assim, já há forte indicação de que a superfície é um cone duplo (duas “nappes”) com vértice em (0,0,0). Vou agora mostrar isso de forma mais concreta.

Passo 3

Para ver as direções dos geradores do cone, divido por x^{2} (considerando primeiro x\neq0):
1 = 4\left(\frac{y}{x}\right)^{2} + 16\left(\frac{z}{x}\right)^{2}.
Explicação didática: escrevendo u=\dfrac{y}{x} e v=\dfrac{z}{x} obtemos a curva em (u,v)
4u^{2}+16v^{2}=1,
que é uma elipse no espaço dos “coeficientes angulares” (u,v). Isso significa que as direções das linhas geradoras do cone formam uma elipse de razões distintas nas direções y e z. Conclusão: a superfície é um cone com vértice na origem e eixo coincidente com o eixo x (pois as secções para x= constante são elipses centradas no eixo x).

Passo 4

Analiso as secções por planos perpendiculares ao eixo x (planos x=c com c\neq0):
4y^{2}+16z^{2}=c^{2}.
Coloco na forma padrão de elipse:
\frac{y^{2}}{(c/2)^{2}}+\frac{z^{2}}{(c/4)^{2}}=1.
Explicação didática: isto mostra que para cada x=c fixo a interseção é uma elipse com semi-eixo paralelo a y igual a \dfrac{c}{2} e semi-eixo paralelo a z igual a \dfrac{c}{4}. À medida que |c| cresce, as elipses aumentam proporcionalmente a |c|. Isso caracteriza um cone elíptico cuja abertura é diferente nas direções y e z.

Passo 5

Intersecções com os eixos coordenados:
  • Eixo x: colocar y=0 e z=0 na equação dá x^{2}=0, logo x=0. Portanto a interseção com o eixo x é apenas o ponto (0,0,0).
  • Eixo y: colocar x=0 e z=0 0=4y^{2} y=0. Só o ponto (0,0,0).
  • Eixo z: colocar x=0 e y=0 0=16z^{2} z=0. Só o ponto (0,0,0).
    Explicação didática: o cone só toca os eixos no vértice; não corta nenhum eixo em ponto diferente da origem.

Passo 6

Intersecções com planos coordenados (mostra as retas geradoras visíveis):
  • Plano z=0: a equação fica
x^{2}=4y^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2y.
Isto são duas retas que passam pela origem no plano z=0; elas são geradoras do cone (linhas que pertencem à superfície).
  • Plano y=0: a equação fica
x^{2}=16z^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 4z.
Duas retas no plano y=0, também geradoras do cone.
Explicação didática: qualquer plano que contenha o eixo x corta o cone em duas retas através da origem — o cone é gerado por retas passando pelo vértice.

Passo 7

Resumo e características finais (didático e prático para a prova):
  • Tipo de superfície: cone duplo elíptico (cone quadrático) com vértice em (0,0,0).
  • Eixo do cone: eixo x (simetria em relação a reflexões x\mapsto -x).
  • Secções por x=c (com c\neq0) são elipses \;4y^{2}+16z^{2}=c^{2}\; com semi-eixos \dfrac{c}{2} (na direção y) e \dfrac{c}{4} (na direção z).
  • Interseção com os eixos coordenados: apenas o ponto (0,0,0).
  • Contém, por exemplo, as retas x=\pm 2y no plano z=0 e x=\pm 4z no plano y=0, que são geradoras do cone.

Resposta

Cone duplo elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo do eixo x.
Para x=c\neq0 as secções são elipses 4y^{2}+16z^{2}=c^{2} com semi-eixos c/2 (direção y) e c/4 (direção z).
A superfície intersecta cada eixo coordenado apenas no ponto (0,0,0).
No plano z=0 há as retas geradoras x=\pm 2y e no plano y=0 as retas x=\pm 4z.

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