Escolha o teste mais apropriado para determinar a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}. Justifique sua escolha e apresente a solução completa.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)\,3^{n}}{n!}.
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas. Como há fatoriais e potências em n, o teste da razão (ou de d’Alembert) é o mais indicado.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{(n+1)\,3^{n}}{n!},
e calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{(n+2)\,3^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{(n+1)\,3^n}{n!}} = \frac{n+2}{n+1}\;\cdot3\;\cdot\frac{n!}{(n+1)!} = 3\,\frac{n+2}{(n+1)^2}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n \to \infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}3\,\frac{n+2}{(n+1)^2} =3\;\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n^2+2n+1} =3\;\cdot0 =0.
Como esse limite L=0 satisfaz L<1, o teste da razão garante convergência absoluta da série.

Resposta

A série converge absolutamente (pelo teste da razão, com L=0<1).

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