Tente aplicar o Teste da Razão à série-p \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}. O que você pode concluir a partir do resultado? Qual teste seria apropriado para determinar a convergência desta série?

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Razão à série-p \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
e ver o que obtemos. Em seguida, devemos indicar qual teste é apropriado para decidir sua convergência.

Passo 2

Vamos calcular
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
onde a_{n}=\frac{1}{n^{3}}. Logo,
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\tfrac{1}{(n+1)^{3}}}{\tfrac{1}{n^{3}}} =\frac{n^{3}}{(n+1)^{3}}.
Portanto,
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{(n+1)^{3}} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{3} =1.

Passo 3

Como no Teste da Razão temos L=1, o resultado é inconclusivo (quando L=1, o teste não informa convergência nem divergência).

Passo 4

Para séries do tipo \sum 1/n^{p} usa-se o Teste da Série- p (ou então o Teste da Integral). Esse teste afirma que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=3>1, logo a série converge.

Resposta

O Teste da Razão dá L=1, sendo inconclusivo. O teste apropriado é o Teste da Série- p (ou o Teste da Integral), que mostra convergência porque p=3>1.

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