Considere ainda o problema da questão 01. Adicione ao sistema um amortecedor viscoso, em paralelo com as molas. Deseja-se que, a cada período do movimento, a energia no final do período seja 90 \% da energia no início do período. Qual deve ser o valor do coeficiente de amortecimento do amortecedor para que isso ocorra?

Passo 1

O enunciado estende o sistema massa–molas da questão 01 (duas molas em paralelo, constantes k_{1} e k_{2}, e massa m) adicionando um amortecedor viscoso de coeficiente c em paralelo. Queremos que, a cada período do movimento, a energia seja reduzida para 90\% da energia inicial. O conteúdo aqui é o decaimento exponencial de energia em um oscilador subamortecido e a relação entre coeficiente de amortecimento e razão de energia por ciclo.

Passo 2

A rigidez equivalente das molas em paralelo é
k = k_{1} + k_{2}
e a frequência natural não amortecida do sistema é
\omega_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{k_{1}+k_{2}}{m}}.
Definimos a razão de amortecimento
\zeta = \frac{c}{2\,m\,\omega_{n}}.

Passo 3

Em regime subamortecido leve \zeta\ll1, a energia total do sistema decai exponencialmente segundo
E(t) = E_{0}\,e^{-2\,\zeta\,\omega_{n}\,t}.
Como o período de oscilação vale aproximadamente
T \approx \frac{2\pi}{\omega_{n}},
a razão entre a energia após um período e a energia inicial é
\frac{E(T)}{E_{0}} = e^{-2\,\zeta\,\omega_{n}\,T} = e^{-2\,\zeta\,\omega_{n}\,\frac{2\pi}{\omega_{n}}} = e^{-4\pi\,\zeta}.

Passo 4

Queremos que \dfrac{E(T)}{E_{0}}=0.9. Logo,
e^{-4\pi\,\zeta} = 0.9 \quad\Longrightarrow\quad \zeta = -\frac{1}{4\pi}\ln\bigl(0.9\bigr).

Passo 5

Como \zeta = \tfrac{c}{2\,m\,\omega_{n}}, isolamos c:
c = 2\,m\,\omega_{n}\,\zeta = 2\,m\,\omega_{n} \Bigl(-\frac{1}{4\pi}\ln(0.9)\Bigr) = -\frac{m\,\omega_{n}}{2\pi}\,\ln(0.9).

Passo 6

Substituindo \omega_{n} = \sqrt{\tfrac{k_{1}+k_{2}}{m}} em c, obtemos
c = -\frac{m}{2\pi}\,\sqrt{\frac{k_{1}+k_{2}}{m}}\;\ln(0.9) = -\frac{\sqrt{\,m\,(k_{1}+k_{2})\,}}{2\pi}\;\ln(0.9).

Resposta

c = -\frac{\sqrt{\,m\,(k_{1}+k_{2})\,}}{2\pi}\,\ln\bigl(0.9\bigr).

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