1. (6,0) Escolha três das séries a seguir para determinar se a série é convergente ou divergente:
    \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral da série é a_k = k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
  • Todos os termos são positivos para k\ge 1.
  • A potência tem razão \frac{2}{3} (valor entre 0 e 1).
    A partir daqui vamos decidir e mostrar, passo a passo, se a série converge e — se possível — calcular a soma.

Passo 2

Escolha do método: como a série tem a forma k r^{k} com r=\frac{2}{3}, existe uma técnica muito prática e padrão em provas: usar a soma da série geométrica e derivá-la termo a termo para obter a soma de \sum k r^k. Esse método é direto e dá a soma exata. Como verificação alternativa (útil na prova), também mostrarei o teste da razão para confirmar convergência sem calcular a soma. Vou primeiro ensinar a fórmula da série geométrica, depois derivar e aplicar aqui.

Passo 3

Relembrando a série geométrica básica: para um número real r com |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1-r}.
O que isso significa: somamos infinitos termos 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots. Quando |r|<1, os termos vão para zero rápido o bastante e a soma tem valor finito \frac{1}{1-r}. Aqui r é a razão entre termos consecutivos.

Passo 4

Derivando a soma geométrica para obter \sum k r^{k}.
  • Se escrevemos a soma geométrica como função de r:
S(r) = \sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1-r}\quad\text{para }\;|r|<1,
podemos derivar ambos os lados em relação a r. A derivada do termo r^{k} em relação a r é k r^{k-1}. Fazendo a derivada termo a termo (procedimento padrão aqui, válido para |r|<1) temos:
S'(r) = \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}.
  • Derivando o lado direito \frac{1}{1-r} obtemos
\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{1-r}\right) = \frac{1}{(1-r)^{2}}.
Logo
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r (para obter k r^{k} em vez de k r^{k-1}):
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k} = \frac{r}{(1-r)^{2}}.
Explicando as variáveis: aqui k é o índice de soma (um inteiro positivo), r é a razão (número real com |r|<1), e a igualdade vale sempre que |r|<1.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso onde r=\frac{2}{3}.
  • Calcule 1-r:
1-r = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}.
  • Calcule (1-r)^{2}:
(1-r)^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}.
  • Agora use a fórmula
\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{2}{3}\right)^{k} = \frac{\frac{2}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}.
  • Faça a conta passo a passo: dividir por \frac{1}{9} é o mesmo que multiplicar por 9, então
\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = \frac{2}{3}\times 9 = 2\times 3 = 6.

Passo 6

Conclusão a partir do passo anterior: a série converge e sua soma é 6. Vou agora mostrar rapidamente o teste da razão como verificação (útil se você só precisa saber convergência e não a soma):
  • Tome a_k = k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}. Calcule a razão
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)\left(\frac{2}{3}\right)^{k+1}}{k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}} = \frac{k+1}{k}\cdot\frac{2}{3}.
  • Ao passar k\to\infty, temos \frac{k+1}{k}\to 1, logo
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{2}{3}.
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão nos diz que a série converge absolutamente (portanto converge). Esse cálculo confirma a convergência obtida pela fórmula, mas o teste da razão não fornece a soma — por isso a técnica da derivada da série geométrica é preferida quando queremos o valor exato.

Passo 7

Dica prática para a prova (amigo falando sério): quando você vir termos do tipo k r^{k} com |r|<1, já acenda a lâmpada: ou você usa a fórmula \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k} = \frac{r}{(1-r)^2} para obter a soma rapidamente, ou aplica o teste da razão se só precisa mostrar convergência. Guarde essa fórmula — ela cai muito bem em provas.

Resposta

A série converge e \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{2}{3}\right)^{k}=6.

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