- (6,0) Escolha três das séries a seguir para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral da série é
. - Todos os termos são positivos para
. - A potência tem razão
(valor entre 0 e 1).
A partir daqui vamos decidir e mostrar, passo a passo, se a série converge e — se possível — calcular a soma.
Passo 2
Escolha do método: como a série tem a forma
com
, existe uma técnica muito prática e padrão em provas: usar a soma da série geométrica e derivá-la termo a termo para obter a soma de
. Esse método é direto e dá a soma exata. Como verificação alternativa (útil na prova), também mostrarei o teste da razão para confirmar convergência sem calcular a soma. Vou primeiro ensinar a fórmula da série geométrica, depois derivar e aplicar aqui.
Passo 3
Relembrando a série geométrica básica: para um número real
com
,
O que isso significa: somamos infinitos termos
. Quando
, os termos vão para zero rápido o bastante e a soma tem valor finito
. Aqui
é a razão entre termos consecutivos.
Passo 4
Derivando a soma geométrica para obter
.
- Se escrevemos a soma geométrica como função de
:
podemos derivar ambos os lados em relação a
. A derivada do termo
em relação a
é
. Fazendo a derivada termo a termo (procedimento padrão aqui, válido para
) temos:
- Derivando o lado direito
obtemos
Logo
Multiplicando ambos os lados por
(para obter
em vez de
):
Explicando as variáveis: aqui
é o índice de soma (um inteiro positivo),
é a razão (número real com
), e a igualdade vale sempre que
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso onde
.
- Calcule
:
- Calcule
:
- Agora use a fórmula
- Faça a conta passo a passo: dividir por
é o mesmo que multiplicar por , então
Passo 6
Conclusão a partir do passo anterior: a série converge e sua soma é
. Vou agora mostrar rapidamente o teste da razão como verificação (útil se você só precisa saber convergência e não a soma):
- Tome
. Calcule a razão
- Ao passar
, temos , logo
Como esse limite é menor que
, o teste da razão nos diz que a série converge absolutamente (portanto converge). Esse cálculo confirma a convergência obtida pela fórmula, mas o teste da razão não fornece a soma — por isso a técnica da derivada da série geométrica é preferida quando queremos o valor exato.
Passo 7
Dica prática para a prova (amigo falando sério): quando você vir termos do tipo
com
, já acenda a lâmpada: ou você usa a fórmula
para obter a soma rapidamente, ou aplica o teste da razão se só precisa mostrar convergência. Guarde essa fórmula — ela cai muito bem em provas.
Resposta
A série converge e
.