- (1) (6.0) Em cada caso, determine os 5 primeiros termos da sequência e, em seguida, determine se a sequência converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os cinco primeiros termos da sequência dada por
e (2) decidir se a sequência converge ou diverge. As informações relevantes que temos são: o termo geral é a desigualdade
aplicada ao índice
— isto é, para cada
devemos verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Também vamos precisar do valor aproximado de
para comparar com inteiros
.
Passo 2
Interpretação do enunciado (muito importante): a expressão
define, para cada
, um valor lógico (verdadeiro ou falso) da proposição
. É comum em sequências tratar valores lógicos como números usando
para “verdadeiro” e
para “falso”. Vou usar essa interpretação porque é a que faz sentido para produzir uma sequência numérica (se interpretássemos de outra forma haveria ambiguidade). Portanto, adotamos:
Explico depois por que isso leva a concluir convergência ou divergência.]
Passo 3
Calcular o valor numérico aproximado de
. Sabendo que
, temos
Logo,
está entre
e
; mais precisamente
.
Passo 4
Determinar para
se
é verdadeiro ou falso. Como
, todos os inteiros
são menores que
. Portanto, sob a nossa interpretação
nesses casos. Escrevendo termo a termo:
Passo 5
Analisar o comportamento para todos os
(isto é, o comportamento no infinito) para decidir convergência. Como
está entre
e
, todos os inteiros
com
satisfazem
(portanto
para
), enquanto para
temos
, logo
é falso e
para todo
. Em palavras: a sequência é
ou seja, é igual a
nos sete primeiros termos e depois fica permanentemente
.
Passo 6
Concluir sobre convergência: a sequência é eventualmente constante igual a
(a partir de
todos os termos valem
). Uma sequência que é constante a partir de algum índice converge para esse valor constante. Formalmente, para qualquer
basta escolher
; então para todo
temos
. Portanto a sequência converge e o limite é
.
Resposta
Converge;