1. (1) (6.0) Em cada caso, determine os 5 primeiros termos da sequência e, em seguida, determine se a sequência converge ou diverge:
a_{n}=n<e^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os cinco primeiros termos da sequência dada por \\ a_{n}=n<e^{2} e (2) decidir se a sequência converge ou diverge. As informações relevantes que temos são: o termo geral é a desigualdade \\ n<e^{2} aplicada ao índice n — isto é, para cada n devemos verificar se a afirmação n<e^{2} é verdadeira ou falsa. Também vamos precisar do valor aproximado de \\ e^{2} para comparar com inteiros n.

Passo 2

Interpretação do enunciado (muito importante): a expressão \\ a_{n}=n<e^{2} define, para cada n, um valor lógico (verdadeiro ou falso) da proposição n<e^{2}. É comum em sequências tratar valores lógicos como números usando 1 para “verdadeiro” e 0 para “falso”. Vou usar essa interpretação porque é a que faz sentido para produzir uma sequência numérica (se interpretássemos de outra forma haveria ambiguidade). Portanto, adotamos:
a_n = \begin{cases} 1, &\text{se } n<e^{2},\\[4pt] 0, &\text{se } n\ge e^{2}. \end{cases}
Explico depois por que isso leva a concluir convergência ou divergência.]

Passo 3

Calcular o valor numérico aproximado de \\ e^{2}. Sabendo que \\ e\approx 2{,}71828, temos
e^{2}\approx (2{,}71828)^{2}\approx 7{,}389056\ldots
Logo, \\ e^{2} está entre 7 e 8; mais precisamente \\\ 7<e^{2}<8.

Passo 4

Determinar para n=1,2,3,4,5 se \\ n<e^{2} é verdadeiro ou falso. Como \\ e^{2}\approx 7{,}389, todos os inteiros 1,2,3,4,5 são menores que \\ e^{2}. Portanto, sob a nossa interpretação a_n=1 nesses casos. Escrevendo termo a termo:
a_{1}=1,\quad a_{2}=1,\quad a_{3}=1,\quad a_{4}=1,\quad a_{5}=1.

Passo 5

Analisar o comportamento para todos os n (isto é, o comportamento no infinito) para decidir convergência. Como \\ e^{2} está entre 7 e 8, todos os inteiros n com n\le 7 satisfazem n<e^{2} (portanto a_n=1 para n=1,\dots,7), enquanto para n\ge 8 temos n\ge 8>e^{2}, logo n<e^{2} é falso e a_n=0 para todo n\ge 8. Em palavras: a sequência é
1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,\ldots
ou seja, é igual a 1 nos sete primeiros termos e depois fica permanentemente 0.

Passo 6

Concluir sobre convergência: a sequência é eventualmente constante igual a 0 (a partir de n=8 todos os termos valem 0). Uma sequência que é constante a partir de algum índice converge para esse valor constante. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher N=8; então para todo n\ge N temos |a_n-0|=0<\varepsilon. Portanto a sequência converge e o limite é 0.

Resposta

a_{1}=1,\\ a_{2}=1,\\ a_{3}=1,\\ a_{4}=1,\\ a_{5}=1
Converge; \lim_{n\to\infty}a_{n}=0

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