- (4,0) Leonard Euler também foi capaz de calcular a soma exata da
série com
:
Utilize esse fato para encontrar a soma da série:
Passo 1
O enunciado dá a soma conhecida
e pede para encontrar a soma
Informações relevantes: a série pedida é composta pelos termos
para
e temos o valor exato da série
.
Passo 2
Regra importante (linearidade das séries): se
é uma sequência tal que
converge e
é constante, então
Justificativa sucinta: para as somas parciais
vale
; tomando limite
o fator
sai da soma por ser constante.
Passo 3
Aplicamos essa propriedade à série pedida. Observe que
portanto
Passo 4
Calcule
. Temos
e
. Substituindo,
Passo 5
Usando o valor dado de
,
Passo 6
Simplificamos a fração
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Logo
Passo 7
Resumo final: a soma pedida converge (porque é constante vezes
) e vale
. Um exemplo similar:
, aplicando exatamente a mesma regra.