1. (4,0) Leonard Euler também foi capaz de calcular a soma exata da p série com p=4 :
\zeta(4)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90} .
Utilize esse fato para encontrar a soma da série:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado dá a soma conhecida
\zeta(4)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90},
e pede para encontrar a soma
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n}\right)^{4}.
Informações relevantes: a série pedida é composta pelos termos \left(\frac{3}{n}\right)^{4} para n=1,2,3,\dots e temos o valor exato da série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}.

Passo 2

Regra importante (linearidade das séries): se \{a_n\} é uma sequência tal que \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge e c é constante, então
\sum_{n=1}^{\infty} c\,a_n = c\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Justificativa sucinta: para as somas parciais S_N\text{(c)}=\sum_{n=1}^{N} c\,a_n vale S_N\text{(c)}=c\sum_{n=1}^{N}a_n; tomando limite N\to\infty o fator c sai da soma por ser constante.

Passo 3

Aplicamos essa propriedade à série pedida. Observe que
\left(\frac{3}{n}\right)^{4}=3^{4}\cdot\frac{1}{n^{4}},
portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n}\right)^{4}=3^{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}.

Passo 4

Calcule 3^{4}. Temos 3^{2}=9 e 3^{4}=(3^{2})^{2}=9^{2}=81. Substituindo,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n}\right)^{4}=81\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}.

Passo 5

Usando o valor dado de \zeta(4),
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n}\right)^{4}=81\cdot\frac{\pi^{4}}{90}.

Passo 6

Simplificamos a fração \frac{81}{90}. Dividindo numerador e denominador por 9 obtemos
\frac{81}{90}=\frac{9}{10}.
Logo
81\cdot\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{9}{10}\pi^{4}.

Passo 7

Resumo final: a soma pedida converge (porque é constante vezes \zeta(4)) e vale \frac{9}{10}\pi^{4}. Um exemplo similar: \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}\right)^{2}=2^{2}\zeta(2)=4\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{2\pi^{2}}{3}, aplicando exatamente a mesma regra.

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi^{4}}{10}

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