A escotilha de um submarino (submerso em água) pode ser representada pelo conjunto
definido por
Sabendo que a pressão na origem vale
e que o vetor aceleração da gravidade é dado por
, calcule o momento em relação à origem devido à ação da água sobre a escotilha. São dados do problema:
e
. Para efeito de cálculos, suponha que a região
esteja no interior do submarino e que a densidade
seja constante.
Passo 1
O enunciado descreve a escotilha como a superfície triangular
imersa em água de densidade
. A pressão hidrostática é
com
. Queremos o momento em relação à origem
onde
é a força elementar da água sobre a escotilha.
Passo 2
Em hidrostática, a pressão num ponto
é
Como
é dada por
, um vetor normal (orientado para fora do interior) é
.
Passo 3
Parametrizamos
pelo par
no triângulo
com
Os vetores tangentes são
e
,
portanto o vetor de área orientado é
portanto o vetor de área orientado é
Passo 4
A força elementar da água é
Logo o momento é
Passo 5
Calculamos o produto vetorial
Reescrevemos a pressão em função de
como
com
Passo 6
As componentes de
são integrais polinomiais sobre
. Usando
verifica-se que os termos com
se anulam por simetria e restam apenas contribuições de
e
. O resultado final é