A escotilha de um submarino (submerso em água) pode ser representada pelo conjunto S definido por
S \equiv\{(x, y, z) \text { tais que: } x+y+z=L, \quad z>0, \quad y>0 \text { e } x>0\}
Sabendo que a pressão na origem vale p_{0} e que o vetor aceleração da gravidade é dado por \mathbf{g}=\alpha \mathbf{i}+\beta \mathbf{j}+\gamma \mathbf{k}, calcule o momento em relação à origem devido à ação da água sobre a escotilha. São dados do problema: \rho, \alpha, \beta, \gamma e p_{0}. Para efeito de cálculos, suponha que a região x+y+z<L esteja no interior do submarino e que a densidade \rho seja constante.

Passo 1

O enunciado descreve a escotilha como a superfície triangular
S=\{(x,y,z)\mid x+y+z=L,\;x>0,\;y>0,\;z>0\}
imersa em água de densidade \rho. A pressão hidrostática é
p(\mathbf r)=p_{0}+\rho\,\mathbf g\cdot\mathbf r
com \mathbf g=(\alpha,\beta,\gamma). Queremos o momento em relação à origem
\mathbf M=\iint_{S}\mathbf r\times d\mathbf F,
onde d\mathbf F é a força elementar da água sobre a escotilha.

Passo 2

Em hidrostática, a pressão num ponto \mathbf r=(x,y,z) é
p(\mathbf r)=p_{0}+\rho\,(\alpha x+\beta y+\gamma z).
Como S é dada por \Phi(x,y,z)=x+y+z-L=0, um vetor normal (orientado para fora do interior) é \nabla\Phi=(1,1,1).

Passo 3

Parametrizamos S pelo par (x,y) no triângulo
D=\{x>0,\;y>0,\;x+y<L\},
com
\mathbf r(x,y)=(x,y,L-x-y).
Os vetores tangentes são \mathbf r_x=(1,0,-1) e \mathbf r_y=(0,1,-1),
portanto o vetor de área orientado é
d\mathbf S =\mathbf r_x\times\mathbf r_y\,dx\,dy =(1,1,1)\,dx\,dy.

Passo 4

A força elementar da água é
d\mathbf F=-p(\mathbf r)\,\mathbf n\,dA =-p(\mathbf r)\,d\mathbf S =-p(\mathbf r)\,(1,1,1)\,dx\,dy.
Logo o momento é
\mathbf M =\iint_S\mathbf r\times d\mathbf F =-\iint_D\mathbf r(x,y)\times(1,1,1)\;p(\mathbf r(x,y))\,dx\,dy.

Passo 5

Calculamos o produto vetorial
\mathbf r\times(1,1,1) =\bigl(x,y,L-x-y\bigr)\times(1,1,1) =\bigl(x+2y-L,\,-(2x+y-L),\,x-y\bigr).
Reescrevemos a pressão em função de x,y como
p(\mathbf r) =p_{0}+\rho\bigl(\alpha x+\beta y+\gamma(L-x-y)\bigr) =C_{0}+A\,x+B\,y
com
C_{0}=p_{0}+\rho\,\gamma L,\quad A=\rho(\alpha-\gamma),\quad B=\rho(\beta-\gamma).

Passo 6

As componentes de \mathbf M são integrais polinomiais sobre D. Usando
\iint_Ddx\,dy=\frac{L^2}{2},\quad \iint_Dx\,dx\,dy=\iint_Dy\,dx\,dy=\frac{L^3}{6},\quad \iint_Dx^2\,dx\,dy=\iint_Dy^2\,dx\,dy=\frac{L^4}{12},\quad \iint_Dxy\,dx\,dy=\frac{L^4}{24},
verifica-se que os termos com C_{0} se anulam por simetria e restam apenas contribuições de A e B. O resultado final é
M_x=-\frac{\rho(\beta-\gamma)L^4}{24},\quad M_y=\frac{\rho(\alpha-\gamma)L^4}{24},\quad M_z=-\frac{\rho(\alpha-\beta)L^4}{24}.

Resposta

\boxed{ \mathbf M =\frac{\rho L^4}{24}\bigl(\gamma-\beta,\;\alpha-\gamma,\;\beta-\alpha\bigr). }

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