Um mergulhador chegou até um antigo navio, que naufragou há alguns anos, cheio de ouro guardado num cofre. O mergulhador tem o segredo do cofre, cuja porta é a casca esférica de raio R dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \quad z \geq 0
Se pressão na origem é p_{0}, qual o momento da força exercida pela água com relação à dobradiça do cofre, posicionada no ponto ( -R, 0,0 ) ? Suponha que a densidade da água seja \rho (constante e dada) e que \mathbf{g}=-g \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca hemisférica de raio R, dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},\quad z\ge0,
sujeita à pressão da água cujo valor no ponto de profundidade z é
p(z)=p_{0}-\rho g\,z,
pois \nabla p=\rho\,\mathbf g=-\rho g\,\mathbf k. A dobradiça está no ponto (-R,0,0). Queremos o momento da força resultante da pressão em relação a esse ponto, ou seja
\mathbf M=\iint_{\text{casca}}(\mathbf r-\mathbf r_h)\times\mathrm d\mathbf F,
onde \mathbf r_h=(-R,0,0) e \mathrm d\mathbf F é a força elementar de pressão.

Passo 2

Em cada ponto da casca temos \mathbf r=(x,y,z) e o vetor unitário normal externo ao interior da esfera é
\mathbf n=\frac{\mathbf r}{R}.
Como a pressão atua para dentro,
\mathrm d\mathbf F=-p\,\mathbf n\,\mathrm dS=-p\frac{\mathbf r}{R}\,\mathrm dS.
O vetor posição relativo à dobradiça é
\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf r_h=(x+R,\;y,\;z).
Logo o momento elementar é
\mathrm d\mathbf M=\mathbf r'\times\mathrm d\mathbf F =-\frac pR\,\mathbf r'\times\mathbf r\,\mathrm dS.

Passo 3

Calculemos \mathbf r'\times\mathbf r.
\mathbf r'\times\mathbf r =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\ x+R&y&z\\\ x&y&z \end{vmatrix} =(0,\;-Rz,\;Ry).
Portanto
\mathrm d\mathbf M =-\frac pR(0,-Rz,Ry)\,\mathrm dS =(0,\;p\,z,\;-p\,y)\,\mathrm dS.
Por simetria em y a componente em z se anula após integração, sobrando
\mathbf M =(0,\;M_{y},\;0), \qquad M_{y}=\iint_{\text{casca}}p\,z\,\mathrm dS.

Passo 4

Escrevemos
M_{y} =\iint(p_{0}-\rho g\,z)\,z\,\mathrm dS =p_{0}\iint z\,\mathrm dS-\rho g\iint z^{2}\,\mathrm dS.
Usando coordenadas esféricas z=R\cos\theta, \mathrm dS=R^{2}\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi, \theta\in[0,\pi/2], \varphi\in[0,2\pi] obtemos
\iint z\,\mathrm dS =2\pi R^{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,\mathrm d\theta =\pi R^{3},
\iint z^{2}\,\mathrm dS =2\pi R^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos^{2}\theta\,\mathrm d\theta =\frac{2\pi R^{4}}{3}.
Assim
M_{y} =\;p_{0}\,\pi R^{3} -\rho g\,\frac{2\pi R^{4}}{3} =\pi R^{3}\Bigl(p_{0}-\tfrac{2}{3}\,\rho g\,R\Bigr).

Resposta

\boxed{ \mathbf M =\bigl(0,\;\pi R^{3}p_{0}-\tfrac{2}{3}\pi\rho g\,R^{4},\;0\bigr) }

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