O cubo 0<x<L, \quad 0<y<L, \quad 0<z<L está preenchido (não está mergulhado) por um líquido com densidade constante \rho. Calcule a força exercida por este líquido sobre o subconjunto da face y=L, no qual vale a desigualdade x>z, supondo que a aceleração da gravidade seja \mathbf{g}=g \mathbf{i} e que a pressão na origem seja nula.

Passo 1

Resumindo: temos um cubo preenchido com líquido de densidade constante \rho, definido por
0<x<L,\quad 0<y<L,\quad 0<z<L,
e a gravidade é \mathbf{g}=g\,\mathbf{i}. Pede-se a força que o líquido exerce na parte da face y=L em que x>z. Vamos usar a estática dos fluidos, em particular a equação
\nabla p = \rho\,\mathbf{g},
e depois integrar a pressão sobre essa região da face.

Passo 2

Para achar o campo de pressão p(x,y,z), integramos
\frac{\partial p}{\partial x} = \rho\,g,
enquanto \partial p/\partial y=\partial p/\partial z=0. Assim
p(x) = \rho\,g\,x + C.
Como p(0,0,0)=0, temos C=0. Logo
p(x)=\rho\,g\,x.

Passo 3

A porção da face y=L em que o fluido empurra é dada por
0<z<L,\quad z<x<L,
no plano y=L. O vetor normal unitário, apontando para fora do fluido (ou seja, na direção em que o fluido empurra a superfície), é \mathbf{n}=\mathbf{j}.
Um elemento de área é \mathrm{d}A=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z.

Passo 4

O elemento de força que o fluido exerce na área \mathrm{d}A é
\mathrm{d}\mathbf{F}=p(x)\,\mathbf{n}\,\mathrm{d}A =\rho\,g\,x\;\mathbf{j}\;\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z.
Para obter a resultante, integramos sobre z de 0 a L e sobre x de z a L.

Passo 5

Calculemos
\mathbf{F} =\mathbf{j}\,\rho\,g \int_{z=0}^{L}\!\int_{x=z}^{L}x\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z.
Primeiro
\int_{x=z}^{L}x\,\mathrm{d}x =\frac{L^2 - z^2}{2},
depois
\int_{z=0}^{L}\frac{L^2 - z^2}{2}\,\mathrm{d}z =\frac{1}{2}\Bigl[L^2z - \tfrac{z^3}{3}\Bigr]_{0}^{L} =\frac{L^3}{3}.
Portanto
\mathbf{F} =\frac{\rho\,g\,L^3}{3}\,\mathbf{j}.

Resposta

\boxed{\mathbf{F}=\frac{\rho\,g\,L^3}{3}\,\mathbf{j}}.

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