Escreva
em potências de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se escrever a expressão
em potências de , ou seja, encontrar uma série da forma que seja igual a (quando a série convergir). - Informação dada: a função a expandir é
. Não há valores numéricos adicionais fornecidos.
Passo 2
Escolha do método e justificativa curta (sem entrar em teoria pesada ainda):
- Uma maneira direta é usar a expansão binomial generalizada para expoentes reais/inteiros negativos, que fornece uma série em potências de
centrada em . - Outra via, intuitiva e curta, é derivar a série geométrica de
. Vou apresentar ambos os caminhos brevemente, porque entender os dois ajuda a decorar e a aplicar na prova. Vou primeiro mostrar a via da série binomial (mais geral) e depois confirmar com a derivação da série geométrica.
Passo 3
Enunciado da fórmula que vamos usar (binomial generalizado) e o que significam os símbolos:
- A expansão binomial generalizada diz que, para um número real
,
para
.
- Aqui
é o coeficiente binomial generalizado definido por
- Explicando as partes:
é o expoente geral (pode ser negativo ou não inteiro), é o fatorial de (produto ), e o produto no numerador tem exatamente fatores decrescentes começando em .
Passo 4
Aplicar a fórmula com
e calcular o coeficiente geral
:
- Usando a definição,
- Fatorando os sinais
e reescrevendo os fatores positivos:
- Observando que
, obtemos
- Portanto o coeficiente geral é
.
Passo 5
Escrever a série resultante em potências de
usando o coeficiente encontrado:
- Substituindo na fórmula da série,
para
.
- Se quiser ver os primeiros termos explícitos, temos
Passo 6
Verificação alternativa rápida pela derivada da série geométrica (intuitiva):
- A série geométrica diz que, para
,
- Derivando ambos os lados em relação a
:
- Multiplicando por
e reindexando com dá
que é exatamente a mesma série que encontramos antes. Boa confirmação!
Passo 7
Convergência da série (onde a igualdade vale):
- Usei a condição padrão da expansão binomial generalizada / série geométrica: a série converge para
. - Uma verificação rápida pelo teste da razão para os termos
dá
- Logo a condição de convergência pelo teste da razão é
. Nos pontos ou a série diverge.