Escreva (1+x)^{-2} em potências de x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se escrever a expressão (1+x)^{-2} em potências de x, ou seja, encontrar uma série da forma \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k que seja igual a (1+x)^{-2} (quando a série convergir).
  • Informação dada: a função a expandir é (1+x)^{-2}. Não há valores numéricos adicionais fornecidos.

Passo 2

Escolha do método e justificativa curta (sem entrar em teoria pesada ainda):
  • Uma maneira direta é usar a expansão binomial generalizada para expoentes reais/inteiros negativos, que fornece uma série em potências de x centrada em x=0.
  • Outra via, intuitiva e curta, é derivar a série geométrica de 1/(1+x). Vou apresentar ambos os caminhos brevemente, porque entender os dois ajuda a decorar e a aplicar na prova. Vou primeiro mostrar a via da série binomial (mais geral) e depois confirmar com a derivação da série geométrica.

Passo 3

Enunciado da fórmula que vamos usar (binomial generalizado) e o que significam os símbolos:
  • A expansão binomial generalizada diz que, para um número real a,
(1+x)^{a}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{a}{k}x^{k},
para |x|<1.
  • Aqui \binom{a}{k} é o coeficiente binomial generalizado definido por
\binom{a}{0}=1,\qquad \binom{a}{k}=\frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-k+1)}{k!}\quad\text{para }k\ge1.
  • Explicando as partes: a é o expoente geral (pode ser negativo ou não inteiro), k! é o fatorial de k (produto 1\cdot2\cdots k), e o produto no numerador tem exatamente k fatores decrescentes começando em a.

Passo 4

Aplicar a fórmula com a=-2 e calcular o coeficiente geral \binom{-2}{k}:
  • Usando a definição,
\binom{-2}{k}=\frac{(-2)(-2-1)(-2-2)\cdots(-2-(k-1))}{k!}.
  • Fatorando os sinais (-1)^k e reescrevendo os fatores positivos:
\binom{-2}{k} = \frac{(-1)^k \, 2\cdot 3\cdot 4\cdots (k+1)}{k!}.
  • Observando que 2\cdot 3\cdot 4\cdots (k+1)=\dfrac{(k+1)!}{1!}=(k+1)!, obtemos
\binom{-2}{k}=(-1)^k\frac{(k+1)!}{k!}=(-1)^k (k+1).
  • Portanto o coeficiente geral é \displaystyle\binom{-2}{k}=(-1)^k (k+1).

Passo 5

Escrever a série resultante em potências de x usando o coeficiente encontrado:
  • Substituindo na fórmula da série,
(1+x)^{-2}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-2}{k}x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k (k+1) x^{k},
para |x|<1.
  • Se quiser ver os primeiros termos explícitos, temos
(1+x)^{-2}=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}-\cdots.

Passo 6

Verificação alternativa rápida pela derivada da série geométrica (intuitiva):
  • A série geométrica diz que, para |x|<1,
\frac{1}{1+x}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^k.
  • Derivando ambos os lados em relação a x:
-\,(1+x)^{-2}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k k x^{k-1}.
  • Multiplicando por -1 e reindexando com j=k-1
(1+x)^{-2}=\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^j (j+1) x^{j},
que é exatamente a mesma série que encontramos antes. Boa confirmação!

Passo 7

Convergência da série (onde a igualdade vale):
  • Usei a condição padrão da expansão binomial generalizada / série geométrica: a série converge para |x|<1.
  • Uma verificação rápida pelo teste da razão para os termos a_k = (k+1)|x|^k
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{k+2}{k+1}|x|=|x|.
  • Logo a condição de convergência pelo teste da razão é |x|<1. Nos pontos x=1 ou x=-1 a série diverge.

Resposta

(1+x)^{-2}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k (k+1)\,x^{k}=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}-\cdots \quad\text{(para }|x|<1\text{)}

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