Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 x+3)^{n}}{5^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências dada. As informações fornecidas são:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x+3)^{n}}{5^{2n}}.
A pergunta clara: qual é o raio de convergência R dessa série em termos da variável x?

Passo 2

Simplificar a expressão para identificar o tipo de série. Note que 5^{2n}=(5^2)^n=25^n. Portanto a série pode ser reescrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2x+3}{25}\right)^{n}.
Isto é uma série geométrica em relação ao termo \dfrac{2x+3}{25}.

Passo 3

Lembrando a regra de convergência da série geométrica: a série
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge se, e somente se, |r|<1. (Breve justificativa: a soma parcial é S_N=r\frac{1-r^{N}}{1-r}; quando |r|<1 tem-se r^{N}\to0 e a soma tende a \dfrac{r}{1-r}.) Aqui o “raio de convergência” será obtido impondo |r|<1 ao nosso r.

Passo 4

Aplicar a condição de convergência ao nosso r=\dfrac{2x+3}{25}:
\left|\frac{2x+3}{25}\right|<1.
Multiplicando ambos os lados por 25 (número positivo, não inverte a desigualdade):
|2x+3|<25.

Passo 5

Resolver a desigualdade para x. Primeiro, usar a propriedade da desigualdade composta:
-25<2x+3<25.
Subtrair 3 de todas as partes:
-28<2x<22.
Dividir por 2:
-14<x<11.
Outra forma útil de ver o centro e o raio é escrever
|2x+3|=2\left|x+\tfrac{3}{2}\right|<25 \quad\Rightarrow\quad \left|x+\tfrac{3}{2}\right|<\frac{25}{2}.
Daí o centro da série (quando escrita como potências de x-c) é c=-\tfrac{3}{2} e o raio é
R=\frac{25}{2}.

Passo 6

Resumo didático rápido: identificamos a série como geométrica em \dfrac{2x+3}{25}, aplicamos a condição |r|<1, resolvemos a desigualdade e obtivemos o intervalo de convergência -14<x<11. A partir disso extraímos o raio de convergência como a distância do centro -\tfrac{3}{2} a qualquer extremidade do intervalo, que é \dfrac{25}{2}. Força aí — tá feito!

Resposta

R=\frac{25}{2}

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