Escreva \frac{x}{2 x+1} em potências de x.

Passo 1

O enunciado pede escrever a função \dfrac{x}{2x+1} como uma série em potências de x.
Informações dadas:
  • A expressão a desenvolver é \dfrac{x}{2x+1}.
  • Espera-se uma expansão do tipo \sum_{n} a_n x^n (série de potências) válida num intervalo ao redor de x=0.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula básica que vamos usar: a série geométrica. Para um número r com |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Explicação curta e intuitiva: se S_N=\sum_{n=0}^{N} r^{n} então (1-r)S_N = 1-r^{N+1}. Fazendo N\to\infty e usando |r|<1 (logo r^{N+1}\to0) obtemos a fórmula acima. Essa identidade é a que permite expressar 1/(1-r) como série de potências.

Passo 3

Colocar \dfrac{x}{2x+1} numa forma que use a série geométrica. Note que
\frac{x}{2x+1}=x\cdot\frac{1}{1+2x}.
Escrevemos 1+2x como 1-(-2x), ou seja \dfrac{1}{1+2x}=\dfrac{1}{1-(-2x)}. Aplicando a série geométrica com r=-2x (desde que |-2x|<1, isto é |x|<\tfrac{1}{2}) temos
\frac{1}{1+2x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-2x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{n}x^{n}, \qquad\text{para }|x|<\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Multiplicando por x (lembrando que multiplicar a série por x apenas aumenta o expoente em 1) obtemos
\frac{x}{2x+1}=x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{n}x^{n+1}.
Reindexando com k=n+1 (assim k vai de 1 a \infty) obtemos a forma padrão em potências de x:
\frac{x}{2x+1}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}2^{k-1}x^{k}.
Os primeiros termos desta série são
x-2x^{2}+4x^{3}-8x^{4}+\cdots,
e a expansão é válida para |x|<\tfrac{1}{2} (raio de convergência R=\tfrac{1}{2}).

Resposta

\frac{x}{2x+1}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}2^{k-1}x^{k}=x-2x^{2}+4x^{3}-8x^{4}+\cdots,\quad\text{para }|x|<\tfrac{1}{2}.

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