Escreva
em potências de
.
Passo 1
O enunciado pede escrever a função
como uma série em potências de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão a desenvolver é
. - Espera-se uma expansão do tipo
(série de potências) válida num intervalo ao redor de .
Passo 2
Vamos recordar a fórmula básica que vamos usar: a série geométrica. Para um número
com
vale
Explicação curta e intuitiva: se
então
. Fazendo
e usando
(logo
) obtemos a fórmula acima. Essa identidade é a que permite expressar
como série de potências.
Passo 3
Colocar
numa forma que use a série geométrica. Note que
Escrevemos
como
, ou seja
. Aplicando a série geométrica com
(desde que
, isto é
) temos
Passo 4
Multiplicando por
(lembrando que multiplicar a série por
apenas aumenta o expoente em 1) obtemos
Reindexando com
(assim
vai de
a
) obtemos a forma padrão em potências de
:
Os primeiros termos desta série são
e a expansão é válida para
(raio de convergência
).