Tendo em conta os exercícios 23 e 32, mostre que as colunas de uma matriz A com
linhas constituem uma base de
se e só se
é uma matriz invertível.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que as colunas de uma matriz
com
linhas formam uma base do espaço
se e somente se a matriz
for invertível. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: o que é uma base de um espaço vetorial e o que significa uma matriz ser invertível. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de
é um conjunto de
vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores base.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes invertíveis. Uma matriz
com
linhas e
colunas (ou seja, uma matriz quadrada) é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso também implica que a matriz
tem determinante diferente de zero e que suas colunas são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos começar provando que, se as colunas de
formam uma base de
, então
é invertível. Como as colunas formam uma base, elas são linearmente independentes e geram todo o espaço
. Isso significa que a matriz
tem posto completo, ou seja, seu determinante é diferente de zero. Portanto,
é invertível.
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se
é invertível, então suas colunas formam uma base de
. Como
é invertível, suas colunas são linearmente independentes e o espaço gerado por elas é
. Assim, as colunas de
satisfazem os requisitos para serem uma base de
.
Resposta
Portanto, mostramos que as colunas de uma matriz
com
linhas constituem uma base de
se e somente se
é uma matriz invertível.