Seja
a região do plano
delimitada pelas parábolas
e
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
do plano
limitada pelas parábolas
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- As curvas limites são
e .\n - A região
é o conjunto de pontos entre essas duas parábolas (a interseção delas e a porção entre elas).\n
O que precisamos achar: o valor numérico de.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção das parábolas para saber os limites em
. Igualamos as duas curvas:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por
:
logo
Substituindo em
(ou na outra), obtemos
. Portanto as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 3
Com as interseções, descrevemos a região
. Para cada
entre
e
, a parábola menor (abaixo) é
e a maior (acima) é
. Então, em coordenadas cartesianas, a descrição por fatias verticais é:
Observação útil: a região é simétrica em relação ao eixo
(pois depende de
).
Passo 4
Agora montamos a integral dupla usando a descrição por fatias verticais:
Escolhi essa ordem
porque as curvas são dadas explicitamente como
função de
, então os limites em
ficam simples (de
até
). Além disso, a simetria pode simplificar os cálculos depois.
Passo 5
Calculamos a integral interna em
. Como
é tratado como constante ao integrar em
,
A integral de
é
. Portanto
Passo 6
Agora simplificamos a expressão dentro dos parênteses. Primeiro expandimos
:
Subtraindo
obtemos
Substituindo de volta:
Distribuindo:
Então a integral dupla se reduz a
Passo 7
A função integranda
é uma função par (apenas potências pares de
), e os limites são simétricos
. Podemos usar essa simetria para calcular a integral como o dobro da integral de
a
:
Passo 8
Agora integramos termo a termo. A primitiva de
é
e a de
é
. Assim,
Calculando a diferença:
Lembre-se do fator
externo (pela simetria):
Passo 9
Concluímos que o valor da integral dupla é
.