Seja D a região do plano x y delimitada pelas parábolas y=x^{2} e y=2-x^{2}.
Calcule \iint_{D} x^{2} y d A.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função x^{2}y sobre a região D do plano xy limitada pelas parábolas y=x^{2} e y=2-x^{2}.\n
Informações dadas:
  • As curvas limites são y=x^{2} e y=2-x^{2}.\n
  • A região D é o conjunto de pontos entre essas duas parábolas (a interseção delas e a porção entre elas).\n
    O que precisamos achar: o valor numérico de \iint_{D} x^{2}y\,dA.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção das parábolas para saber os limites em x. Igualamos as duas curvas:
x^{2} = 2 - x^{2}.
Somando x^{2} dos dois lados:
2x^{2} = 2.
Dividindo por 2:
x^{2} = 1,
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x = \pm 1.
Substituindo em y=x^{2} (ou na outra), obtemos y=1. Portanto as curvas se encontram nos pontos (-1,1) e (1,1).

Passo 3

Com as interseções, descrevemos a região D. Para cada x entre -1 e 1, a parábola menor (abaixo) é y=x^{2} e a maior (acima) é y=2-x^{2}. Então, em coordenadas cartesianas, a descrição por fatias verticais é:
-1 \le x \le 1,\qquad x^{2} \le y \le 2 - x^{2}.
Observação útil: a região é simétrica em relação ao eixo y (pois depende de x^{2}).

Passo 4

Agora montamos a integral dupla usando a descrição por fatias verticais:
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=x^{2}}^{2-x^{2}} x^{2}y\,dy\right)\,dx.
Escolhi essa ordem dy\,dx porque as curvas são dadas explicitamente como y= função de x, então os limites em y ficam simples (de x^{2} até 2-x^{2}). Além disso, a simetria pode simplificar os cálculos depois.

Passo 5

Calculamos a integral interna em y. Como x é tratado como constante ao integrar em y,
\int_{y=x^{2}}^{2-x^{2}} x^{2}y\,dy = x^{2}\int_{y=x^{2}}^{2-x^{2}} y\,dy.
A integral de y é \tfrac{1}{2}y^{2}. Portanto
x^{2}\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=2-x^{2}} = \frac{x^{2}}{2}\Big((2-x^{2})^{2} - (x^{2})^{2}\Big).

Passo 6

Agora simplificamos a expressão dentro dos parênteses. Primeiro expandimos (2-x^{2})^{2}:
(2-x^{2})^{2} = 4 - 4x^{2} + x^{4}.
Subtraindo (x^{2})^{2}=x^{4} obtemos
(2-x^{2})^{2} - (x^{2})^{2} = (4 - 4x^{2} + x^{4}) - x^{4} = 4 - 4x^{2}.
Substituindo de volta:
\frac{x^{2}}{2}(4 - 4x^{2}) = \frac{x^{2}\cdot 4(1 - x^{2})}{2} = 2x^{2}(1 - x^{2}).
Distribuindo:
2x^{2}(1 - x^{2}) = 2x^{2} - 2x^{4}.
Então a integral dupla se reduz a
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{-1}^{1} \big(2x^{2} - 2x^{4}\big)\,dx.

Passo 7

A função integranda 2x^{2}-2x^{4} é uma função par (apenas potências pares de x), e os limites são simétricos [-1,1]. Podemos usar essa simetria para calcular a integral como o dobro da integral de 0 a 1:
\int_{-1}^{1} \big(2x^{2} - 2x^{4}\big)\,dx = 2\int_{0}^{1} \big(2x^{2} - 2x^{4}\big)\,dx.

Passo 8

Agora integramos termo a termo. A primitiva de 2x^{2} é \tfrac{2x^{3}}{3} e a de 2x^{4} é \tfrac{2x^{5}}{5}. Assim,
\int_{0}^{1} \big(2x^{2} - 2x^{4}\big)\,dx = \left[\frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{2}{5}.
Calculando a diferença:
\frac{2}{3} - \frac{2}{5} = 2\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = 2\left(\frac{5-3}{15}\right) = 2\cdot\frac{2}{15} = \frac{4}{15}.
Lembre-se do fator 2 externo (pela simetria):
\int_{-1}^{1} \big(2x^{2} - 2x^{4}\big)\,dx = 2\cdot\frac{4}{15} = \frac{8}{15}.

Passo 9

Concluímos que o valor da integral dupla é \dfrac{8}{15}.

Resposta

\dfrac{8}{15}

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