Escreva cada integral dupla abaixo como integral iterada de duas formas, e verifique diretamente a igualdade das integrais iteradas. \iint_{T}\left[x y^{2}-x y\right] d A, onde T é a região triangular com vértices (0,0),(1,0) e (1,1).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas com a integral dupla
\iint_{T}\left[x y^{2}-x y\right]\,dA,
onde T é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1):
Escrever essa integral dupla como integral iterada de duas formas (isto é, as duas ordens de integração possíveis).
Calcular as duas integrais iteradas e verificar diretamente que dão o mesmo resultado.
Informações importantes dadas:
A região T é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1).
A função a integrar é f(x,y)=x y^{2}-x y.
Não há outras hipóteses especiais: a função é polinomial (logo contínua), então podemos trocar a ordem de integração e usar integrais iteradas normalmente.
Passo 2
Entender bem a região T para escrever os limites de integração.
Desenho mental / descrição da região:
Os lados do triângulo são: a base no eixo y=0 entre x=0 e x=1; a reta vertical x=1 entre y=0 e y=1; e a hipotenusa ligando (0,0) a (1,1), que é a reta y=x.
Limites dependendo da ordem:
Se fixamos x primeiro (integrar em y internamente), então x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até y=x. Logo os limites são0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le x.
Se fixamos y primeiro (integrar em x internamente), então y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia da reta x=y até x=1. Logo os limites são0\le y\le 1,\qquad y\le x\le 1.
Passo 3
Escrever as duas integrais iteradas correspondentes à região T.
Portanto a segunda forma também dá -\dfrac{7}{120}.
Passo 6
Conclusão e interpretação rápida (um empurrãozinho motivador):
As duas ordens de integração foram escritas corretamente usando a descrição geométrica do triângulo.
As duas integrais iteradas foram calculadas passo a passo e deram exatamente o mesmo valor -\dfrac{7}{120}, como esperado para uma função contínua num domínio de tipo razoável (aqui um triângulo).