Escreva cada integral dupla abaixo como integral iterada de duas formas, e verifique diretamente a igualdade das integrais iteradas.
\iint_{T}\left[x y^{2}-x y\right] d A, onde T é a região triangular com vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com a integral dupla
\iint_{T}\left[x y^{2}-x y\right]\,dA,
onde T é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1):
  • Escrever essa integral dupla como integral iterada de duas formas (isto é, as duas ordens de integração possíveis).
  • Calcular as duas integrais iteradas e verificar diretamente que dão o mesmo resultado.
Informações importantes dadas:
  • A região T é o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1).
  • A função a integrar é f(x,y)=x y^{2}-x y.
  • Não há outras hipóteses especiais: a função é polinomial (logo contínua), então podemos trocar a ordem de integração e usar integrais iteradas normalmente.

Passo 2

Entender bem a região T para escrever os limites de integração.
Desenho mental / descrição da região:
  • Os lados do triângulo são: a base no eixo y=0 entre x=0 e x=1; a reta vertical x=1 entre y=0 e y=1; e a hipotenusa ligando (0,0) a (1,1), que é a reta y=x.
Limites dependendo da ordem:
  • Se fixamos x primeiro (integrar em y internamente), então x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até y=x. Logo os limites são 0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le x.
  • Se fixamos y primeiro (integrar em x internamente), então y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia da reta x=y até x=1. Logo os limites são 0\le y\le 1,\qquad y\le x\le 1.

Passo 3

Escrever as duas integrais iteradas correspondentes à região T.
Ordem dy primeiro (integral iterada \,dy\,dx):
\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x}\bigl(x y^{2}-x y\bigr)\,dy\right)dx.
Ordem dx primeiro (integral iterada \,dx\,dy):
\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=y}^{1}\bigl(x y^{2}-x y\bigr)\,dx\right)dy.

Passo 4

Calcular a primeira integral iterada (integrando em y primeiro).
Para x fixo, calcular
\int_{y=0}^{x}\bigl(x y^{2}-x y\bigr)\,dy.
Fatorando x (que é constante em relação a y):
x\int_{0}^{x}\bigl(y^{2}-y\bigr)\,dy.
Antiderivadas em y:
\int\bigl(y^{2}-y\bigr)\,dy=\frac{1}{3}y^{3}-\frac{1}{2}y^{2}.
Avalia de 0 a x:
x\left(\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}\right) = \frac{1}{3}x^{4}-\frac{1}{2}x^{3}.
Agora integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{3}x^{4}-\frac{1}{2}x^{3}\right)dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^{4}dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{3}dx.
Calcular as primitivas:
\int x^{4}dx=\frac{1}{5}x^{5},\qquad \int x^{3}dx=\frac{1}{4}x^{4}.
Portanto
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}x^{5}\Big|_{0}^{1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}x^{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{15}-\frac{1}{8}.
Fazendo a subtração com denominador comum 120:
\frac{1}{15}-\frac{1}{8}=\frac{8}{120}-\frac{15}{120}=-\frac{7}{120}.
Portanto a primeira forma dá -\dfrac{7}{120}.

Passo 5

Calcular a segunda integral iterada (integrando em x primeiro) e conferir que dá o mesmo.
Para y fixo, calcular
\int_{x=y}^{1}\bigl(x y^{2}-x y\bigr)\,dx.
Fatorando y (agora y é constante em relação a x):
\int_{x=y}^{1} x\bigl(y^{2}-y\bigr)\,dx = (y^{2}-y)\int_{y}^{1} x\,dx.
Calcular \int_{y}^{1} x\,dx:
\int x\,dx=\frac{1}{2}x^{2}\quad\Rightarrow\quad \int_{y}^{1} x\,dx=\frac{1}{2}(1^{2}-y^{2})=\frac{1}{2}(1-y^{2}).
Logo a integral interna é
(y^{2}-y)\cdot\frac{1}{2}(1-y^{2})=\frac{1}{2}(y^{2}-y)(1-y^{2}).
Expandir para integrar em y:
(y^{2}-y)(1-y^{2})=y^{2}-y-y^{4}+y^{3}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\bigl(y^{2}-y-y^{4}+y^{3}\bigr).
Agora integrar de y=0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\bigl(y^{2}-y-y^{4}+y^{3}\bigr)dy =\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1}y^{2}dy-\int_{0}^{1}y\,dy-\int_{0}^{1}y^{4}dy+\int_{0}^{1}y^{3}dy\right).
Calcular cada uma:
\int_{0}^{1}y\,dy=\frac{1}{2},\quad \int_{0}^{1}y^{2}dy=\frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}y^{3}dy=\frac{1}{4},\quad \int_{0}^{1}y^{4}dy=\frac{1}{5}.
Substituindo:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 60:
\frac{1}{2}\left(\frac{20}{60}-\frac{30}{60}-\frac{12}{60}+\frac{15}{60}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{-7}{60}\right)=-\frac{7}{120}.
Portanto a segunda forma também dá -\dfrac{7}{120}.

Passo 6

Conclusão e interpretação rápida (um empurrãozinho motivador):
  • As duas ordens de integração foram escritas corretamente usando a descrição geométrica do triângulo.
  • As duas integrais iteradas foram calculadas passo a passo e deram exatamente o mesmo valor -\dfrac{7}{120}, como esperado para uma função contínua num domínio de tipo razoável (aqui um triângulo).

Resposta

\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x}\bigl(x y^{2}-x y\bigr)\,dy\right)dx = \int_{0}^{1}\left(\int_{y}^{1}\bigl(x y^{2}-x y\bigr)\,dx\right)dy = -\frac{7}{120}

Exercícios relacionados