Escreva cada integral dupla abaixo como integral iterada de duas formas, e verifique diretamente a igualdade das integrais iteradas. \iint_{R} x y d A, onde a região de integração é o retângulo R=[-1,2] \times[0,1].
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x y\, dA,
onde a região de integração é o retângulo R=[-1,2]\times[0,1].
As tarefas são:
Escrever a integral dupla como integral iterada de duas formas (primeiro integrar em y depois em x, e vice-versa).
Calcular as duas integrais iteradas diretamente e verificar que são iguais.
As informações dadas (resumindo):
Integrando: x y.
Região: x varia de -1 a 2 e y varia de 0 a 1.
Passo 2
Entendendo o que significa transformar em integrais iteradas (uma aulinha rápida e prática).
A notação dA indica um elemento de área no plano (x,y). Para um retângulo R com intervalos independentes para x e y, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada graças ao teorema de Fubini: se a função é contínua em R (aqui x y é polinomial, logo contínua), então
Em palavras: escolher a ordem significa apenas trocar qual variável integra primeiro; os limites correspondem aos intervalos do retângulo e são constantes (não dependem da outra variável).
Dica prática para a prova: sempre que a região for um retângulo, os limites das integrais internas são as extremidades do intervalo daquela variável e permanecem constantes. Aqui os limites são simples: x\in[-1,2], y\in[0,1].
Passo 3
Escrever a primeira ordem: integrar em y primeiro e depois em x. A integral iterada fica
\int_{x=-1}^{2}\left(\int_{y=0}^{1} x y\,dy\right)dx.
Agora calculo a integral interna \int_{0}^{1} x y\,dy. Como x é tratado como constante dentro dessa integral (integramos em y), posso fatorar x:
\int_{y=0}^{1} x y\,dy = x\int_{y=0}^{1} y\,dy.
Calculo \int_{0}^{1} y\,dy: a primitiva de y é \tfrac{y^{2}}{2}, então
Portanto a segunda ordem também dá \tfrac{3}{4}. As duas ordens coincidem, como esperado pelo teorema de Fubini.
Passo 7
Observação adicional (útil na prova): como o integrando é produto de funções separadas em x e y (x y = x\cdot y), para um retângulo R=[a,b]\times[c,d] a integral dupla fatoraria:
\iint_{R} x y\,dA = \left(\int_{a}^{b} x\,dx\right)\left(\int_{c}^{d} y\,dy\right).