Escreva cada integral dupla abaixo como integral iterada de duas formas, e verifique diretamente a igualdade das integrais iteradas.
\iint_{R} x y d A, onde a região de integração é o retângulo R=[-1,2] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x y\, dA,
onde a região de integração é o retângulo R=[-1,2]\times[0,1].
As tarefas são:
  • Escrever a integral dupla como integral iterada de duas formas (primeiro integrar em y depois em x, e vice-versa).
  • Calcular as duas integrais iteradas diretamente e verificar que são iguais.
As informações dadas (resumindo):
  • Integrando: x y.
  • Região: x varia de -1 a 2 e y varia de 0 a 1.

Passo 2

Entendendo o que significa transformar em integrais iteradas (uma aulinha rápida e prática).
  • A notação dA indica um elemento de área no plano (x,y). Para um retângulo R com intervalos independentes para x e y, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada graças ao teorema de Fubini: se a função é contínua em R (aqui x y é polinomial, logo contínua), então
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx =\int_{y=c}^{d}\left(\int_{x=a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy.
  • Em palavras: escolher a ordem significa apenas trocar qual variável integra primeiro; os limites correspondem aos intervalos do retângulo e são constantes (não dependem da outra variável).
  • Dica prática para a prova: sempre que a região for um retângulo, os limites das integrais internas são as extremidades do intervalo daquela variável e permanecem constantes. Aqui os limites são simples: x\in[-1,2], y\in[0,1].

Passo 3

Escrever a primeira ordem: integrar em y primeiro e depois em x. A integral iterada fica
\int_{x=-1}^{2}\left(\int_{y=0}^{1} x y\,dy\right)dx.
Agora calculo a integral interna \int_{0}^{1} x y\,dy. Como x é tratado como constante dentro dessa integral (integramos em y), posso fatorar x:
\int_{y=0}^{1} x y\,dy = x\int_{y=0}^{1} y\,dy.
Calculo \int_{0}^{1} y\,dy: a primitiva de y é \tfrac{y^{2}}{2}, então
\int_{y=0}^{1} y\,dy = \left.\tfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1^{2}}{2}-\tfrac{0^{2}}{2}=\tfrac{1}{2}.
Portanto a integral interna vale
\int_{y=0}^{1} x y\,dy = x\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{x}{2}.

Passo 4

Continuando a primeira ordem: agora integro em x
\int_{x=-1}^{2} \tfrac{x}{2}\,dx.
Factor constante 1/2:
\int_{-1}^{2} \tfrac{x}{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{-1}^{2} x\,dx.
A primitiva de x é \tfrac{x^{2}}{2}, então
\tfrac{1}{2}\int_{-1}^{2} x\,dx = \tfrac{1}{2}\left.\tfrac{x^{2}}{2}\right|_{-1}^{2} = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{2^{2}}{2}-\tfrac{(-1)^{2}}{2}\right).
Calculo os termos:
\tfrac{2^{2}}{2}=\tfrac{4}{2}=2,\qquad \tfrac{(-1)^{2}}{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo
\tfrac{1}{2}(2-\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{4}.
Portanto, pela primeira ordem obtemos \tfrac{3}{4}.

Passo 5

Agora a segunda ordem: integrar em x primeiro e depois em y. A integral iterada é
\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=-1}^{2} x y\,dx\right)dy.
Calculo a integral interna \int_{-1}^{2} x y\,dx. Aqui y é constante dentro da integral em x, então fatoro y:
\int_{x=-1}^{2} x y\,dx = y\int_{x=-1}^{2} x\,dx.
Já calculámos \int_{-1}^{2} x\,dx na etapa anterior (foi \tfrac{3}{2}), mas vamos reescrever o cálculo para ficar claro:
\int_{x=-1}^{2} x\,dx = \left.\tfrac{x^{2}}{2}\right|_{-1}^{2} = 2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto
\int_{x=-1}^{2} x y\,dx = y\cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{3y}{2}.

Passo 6

Agora integro em y:
\int_{y=0}^{1} \tfrac{3y}{2}\,dy = \tfrac{3}{2}\int_{0}^{1} y\,dy.
Sabemos \int_{0}^{1} y\,dy=\tfrac{1}{2}, então
\tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4}.
Portanto a segunda ordem também dá \tfrac{3}{4}. As duas ordens coincidem, como esperado pelo teorema de Fubini.

Passo 7

Observação adicional (útil na prova): como o integrando é produto de funções separadas em x e y ( x y = x\cdot y), para um retângulo R=[a,b]\times[c,d] a integral dupla fatoraria:
\iint_{R} x y\,dA = \left(\int_{a}^{b} x\,dx\right)\left(\int_{c}^{d} y\,dy\right).
Aplicando a nossa região:
\left(\int_{-1}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y\,dy\right) = \tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4},
o que reforça o cálculo anterior e é uma forma rápida de resolver na prova quando a função é separável.

Resposta

\iint_{R} x y\,dA = \int_{x=-1}^{2}\left(\int_{y=0}^{1} x y\,dy\right)dx = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=-1}^{2} x y\,dx\right)dy = \tfrac{3}{4}.

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