Escreva cada número decimal na base b.
29, \overline{16} na base b=6

Passo 1

O enunciado pede: escrever o número decimal 29,\overline{16} (isto é, 29{,}161616\ldots em base decimal) na base b=6.
Informações dadas:
  • O número dado está em base decimal (base 10): 29,\overline{16}.
  • A base alvo é b=6.
O que se pede:
  • Encontrar a representação desse mesmo número na base 6, ou seja, escrever o número em notação base 6.

Passo 2

Primeiro vou transformar 29,\overline{16} numa fração racional em \mathbb{Q}. Método padrão para repetir dois dígitos:
Seja
x = 29,\overline{16}.
Como o período tem 2 dígitos, multiplico por 100:
100x = 2916,\overline{16}.
Agora subtraio as duas equações:
100x - x = 2916,\overline{16} - 29,\overline{16} \quad\Rightarrow\quad 99x = 2916 - 29 = 2887.
Logo
x = \frac{2887}{99}.
Esta é a forma racional exata do número decimal dado. Não há fator comum entre 2887 e 99 (verificação rápida: 99=9\cdot11; 2887 não é múltiplo de 3 nem de 11), portanto a fração já está irredutível.

Passo 3

Agora vou dividir essa tarefa em parte inteira e parte fracionária, para converter para base 6.
A parte inteira de x é 29. Converto 29_{10} para base 6:
Divisões sucessivas por 6:
29 \div 6 = 4 \text{ quociente},\; \text{resto }5.
Como 4<6, os dígitos (do mais significativo ao menos) são 4 e 5. Portanto
29_{10} = (45)_6.

Passo 4

A parte fracionária é
\{x\} = x - 29 = \frac{2887}{99} - 29 = \frac{2887 - 29\cdot 99}{99}.
Calculo o numerador:
29\cdot 99 = 29\cdot(100-1)=2900-29=2871,
então
\{x\} = \frac{2887-2871}{99} = \frac{16}{99}.
Portanto a fração a converter em base 6 é f=\dfrac{16}{99}.

Passo 5

Explico o algoritmo para converter a parte fracionária f para base 6:
  • Em base b, cada dígito fracionário sucessivo é obtido multiplicando-se a parte fracionária por b e tomando a parte inteira do resultado. O novo resto (a nova parte fracionária) é a parte fracionária desse produto.
  • Se em algum momento a parte fracionária se repetir, os dígitos entre duas ocorrências iguais da mesma parte fracionária formam o bloco periódico (repetição) na base b.
Vou aplicar esse método com b=6 e f=\dfrac{16}{99}. Em cada passo escrevo o produto, a parte inteira (que é o próximo dígito em base 6) e a nova parte fracionária.

Passo 6

Passo 1 (primeiro dígito fracionário):
6\cdot \frac{16}{99} = \frac{96}{99}.
Parte inteira: 0 (pois 96<99). Novo resto: \dfrac{96}{99}.
Então primeiro dígito após a vírgula em base 6 é 0.

Passo 7

Passo 2:
6\cdot \frac{96}{99} = \frac{576}{99} = 5 + \frac{81}{99}.
Parte inteira: 5. Novo resto: \dfrac{81}{99}=\dfrac{9}{11}.
Segundo dígito: 5.

Passo 8

Passo 3:
6\cdot \frac{9}{11} = \frac{54}{11} = 4 + \frac{10}{11}.
Parte inteira: 4. Novo resto: \dfrac{10}{11}.
Terceiro dígito: 4.

Passo 9

Passo 4:
6\cdot \frac{10}{11} = \frac{60}{11} = 5 + \frac{5}{11}.
Parte inteira: 5. Novo resto: \dfrac{5}{11}.
Quarto dígito: 5.

Passo 10

Passo 5:
6\cdot \frac{5}{11} = \frac{30}{11} = 2 + \frac{8}{11}.
Parte inteira: 2. Novo resto: \dfrac{8}{11}.
Quinto dígito: 2.

Passo 11

Passo 6:
6\cdot \frac{8}{11} = \frac{48}{11} = 4 + \frac{4}{11}.
Parte inteira: 4. Novo resto: \dfrac{4}{11}.
Sexto dígito: 4.

Passo 12

Passo 7:
6\cdot \frac{4}{11} = \frac{24}{11} = 2 + \frac{2}{11}.
Parte inteira: 2. Novo resto: \dfrac{2}{11}.
Sétimo dígito: 2.

Passo 13

Passo 8:
6\cdot \frac{2}{11} = \frac{12}{11} = 1 + \frac{1}{11}.
Parte inteira: 1. Novo resto: \dfrac{1}{11}.
Oitavo dígito: 1.

Passo 14

Passo 9:
6\cdot \frac{1}{11} = \frac{6}{11} = 0 + \frac{6}{11}.
Parte inteira: 0. Novo resto: \dfrac{6}{11}.
Nono dígito: 0.

Passo 15

Passo 10:
6\cdot \frac{6}{11} = \frac{36}{11} = 3 + \frac{3}{11}.
Parte inteira: 3. Novo resto: \dfrac{3}{11}.
Décimo dígito: 3.

Passo 16

Passo 11:
6\cdot \frac{3}{11} = \frac{18}{11} = 1 + \frac{7}{11}.
Parte inteira: 1. Novo resto: \dfrac{7}{11}.
Décimo primeiro dígito: 1.

Passo 17

Passo 12:
6\cdot \frac{7}{11} = \frac{42}{11} = 3 + \frac{9}{11}.
Parte inteira: 3. Novo resto: \dfrac{9}{11}.
Décimo segundo dígito: 3.

Passo 18

Observe que nesta etapa a nova parte fracionária é \dfrac{9}{11}, e já tínhamos nos passos anteriores (Passo 3) a parte fracionária \dfrac{9}{11}. Ou seja, a parte fracionária repetiu. Quando isso acontece, os dígitos gerados entre as duas ocorrências dessa mesma parte fracionária formam o bloco periódico.
A primeira ocorrência de \dfrac{9}{11} foi imediatamente antes de gerar o dígito do Passo 3 (que foi 4). A segunda ocorrência aparece agora (antes do dígito que seria o passo 13). Isso mostra que a repetição dos dígitos começa no terceiro dígito fracionário e o bloco periódico tem comprimento 10 (dos dígitos 3 ao 12).

Passo 19

Juntando tudo: os dígitos fracionários obtidos, na ordem, são
\underbrace{0}_{\text{1º}}\,\underbrace{5}_{\text{2º}}\,\underbrace{4\,5\,2\,4\,2\,1\,0\,3\,1\,3}_{\text{3º ao 12º (repetição)}}\ldotsººººçã
Portanto a parte fracionária em base 6 tem dois dígitos não periódicos iniciais 0,5 seguidos de um período de 10 dígitos 4524210313 que se repete indefinidamente.
Assim a representação em base 6 do número 29,\overline{16} (base 10) é
\bigl(45,05\overline{4524210313}\bigr)_{6}.

Resposta

\bigl(45,05\overline{4524210313}\bigr)_{6}

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