Esta é a forma racional exata do número decimal dado. Não há fator comum entre 2887 e 99 (verificação rápida: 99=9\cdot11; 2887 não é múltiplo de 3 nem de 11), portanto a fração já está irredutível.
Passo 3
Agora vou dividir essa tarefa em parte inteira e parte fracionária, para converter para base 6.
A parte inteira de x é 29. Converto 29_{10} para base 6:
Portanto a fração a converter em base 6 é f=\dfrac{16}{99}.
Passo 5
Explico o algoritmo para converter a parte fracionária f para base 6:
Em base b, cada dígito fracionário sucessivo é obtido multiplicando-se a parte fracionária por b e tomando a parte inteira do resultado. O novo resto (a nova parte fracionária) é a parte fracionária desse produto.
Se em algum momento a parte fracionária se repetir, os dígitos entre duas ocorrências iguais da mesma parte fracionária formam o bloco periódico (repetição) na base b.
Vou aplicar esse método com b=6 e f=\dfrac{16}{99}. Em cada passo escrevo o produto, a parte inteira (que é o próximo dígito em base 6) e a nova parte fracionária.
Passo 6
Passo 1 (primeiro dígito fracionário):
6\cdot \frac{16}{99} = \frac{96}{99}.
Parte inteira: 0 (pois 96<99). Novo resto: \dfrac{96}{99}.
Então primeiro dígito após a vírgula em base 6 é 0.
Parte inteira: 3. Novo resto: \dfrac{9}{11}.
Décimo segundo dígito: 3.
Passo 18
Observe que nesta etapa a nova parte fracionária é \dfrac{9}{11}, e já tínhamos nos passos anteriores (Passo 3) a parte fracionária \dfrac{9}{11}. Ou seja, a parte fracionária repetiu. Quando isso acontece, os dígitos gerados entre as duas ocorrências dessa mesma parte fracionária formam o bloco periódico.
A primeira ocorrência de \dfrac{9}{11} foi imediatamente antes de gerar o dígito do Passo 3 (que foi 4). A segunda ocorrência aparece agora (antes do dígito que seria o passo 13). Isso mostra que a repetição dos dígitos começa no terceiro dígito fracionário e o bloco periódico tem comprimento 10 (dos dígitos 3 ao 12).
Passo 19
Juntando tudo: os dígitos fracionários obtidos, na ordem, são
\underbrace{0}_{\text{1º}}\,\underbrace{5}_{\text{2º}}\,\underbrace{4\,5\,2\,4\,2\,1\,0\,3\,1\,3}_{\text{3º ao 12º (repetição)}}\ldotsººººçã
Portanto a parte fracionária em base 6 tem dois dígitos não periódicos iniciais 0,5 seguidos de um período de 10 dígitos 4524210313 que se repete indefinidamente.
Assim a representação em base 6 do número 29,\overline{16} (base 10) é