Escreva cada número decimal na base b.
7, \overline{6} na base b=5

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número 7,\overline{6} (notação decimal periódica em base 10) na base b=5.
Informações dadas:
  • Número na base decimal: 7,\overline{6} (isto é, 7{,}666\ldots em base 10).
  • Base de destino: b=5.

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar 7,\overline{6} numa fração racional (isso facilita a conversão). Vou separar parte inteira e parte fracionária periódica.
Seja y=0,\overline{6}. Então
10y=6,\overline{6}.
Subtraindo y temos
10y-y=9y=6 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Portanto
7,\overline{6}=7+\frac{2}{3}=\frac{21+2}{3}=\frac{23}{3}.

Passo 3

Converter a parte inteira 7 para a base 5. Usa-se divisão sucessiva por 5:
7\div5=1\\ \text{quociente},\\ \text{resto }2.
Logo 7_{10}=12_5 porque 1\cdot5+2=7. Em notação com vírgula: a parte inteira é 12 na base 5.

Passo 4

Converter a parte fracionária \dfrac{2}{3} para base 5. Método: multiplicar a fração pela base e tomar a parte inteira como dígito, repetir com a nova fração (resto).
  1. \dfrac{2}{3}\times5=\dfrac{10}{3}=3+\dfrac{1}{3}. Primeiro dígito fracionário em base 5 é 3. Resto \dfrac{1}{3}.
  2. \dfrac{1}{3}\times5=\dfrac{5}{3}=1+\dfrac{2}{3}. Segundo dígito é 1. Resto volta a \dfrac{2}{3}.
Voltamos ao resto inicial \dfrac{2}{3}, portanto a sequência de restos se repete e os dígitos fracionários repetem com período 2: 3,1,3,1,\ldots. Assim a parte fracionária em base 5 é 0,\overline{31}_5.
Explicação curta do porquê: ao repetir um resto já visto, os próximos dígitos repetirão, gerando um período.

Passo 5

Combinar parte inteira e parte fracionária obtidas: parte inteira 12_5, parte fracionária 0,\overline{31}_5. Logo, o número na base 5 é
(12,\overline{31})_5.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas útil): confirmar que 0,\overline{31}_5 realmente vale \tfrac{2}{3}.
Considere o bloco 31 de dois dígitos. Em base 5, um período corresponde a soma geométrica:
0,\overline{31}_5=\frac{3}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{1}{5^4}+\cdots.
Agrupando pares:
\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{25}\right)\left(1+\frac{1}{25}+\frac{1}{25^2}+\cdots\right) =\left(\frac{16}{25}\right)\left(\frac{1}{1-\tfrac{1}{25}}\right) =\frac{16}{25}\cdot\frac{25}{24}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.
Confere com a fração inicial, então a conversão está correta.

Resposta

(12,\overline{31})_5

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