Escreva cada permutação como produto de ciclos disjuntos e calcule sua ordem.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a permutação
e pede duas coisas:
e pede duas coisas:
- escrever
como produto de ciclos disjuntos; - calcular a ordem de
.
Informações relevantes fornecidas:
- há dois ciclos escritos em produto:
e ; - os elementos envolvidos explicitamente são
(os demais, como e , não aparecem nos ciclos e portanto são candidatos a ficarem fixos).
Passo 2
Convenciona-se (e vou usar aqui) que, quando se escreve um produto de ciclos, o ciclo mais à direita é aplicado primeiro. Ou seja, se definirmos
e
,
então
,
isto é, primeiro aplico ao elemento e depois aplico
ao resultado. É importante dizer isso porque aplicar na ordem oposta dá um resultado diferente; por isso, na hora da prova sempre confirme qual convenção está sendo usada (mas a mais comum é a que estou usando).
então
isto é, primeiro aplico
Passo 3
Vou escrever explicitamente o efeito de cada ciclo (isso é uma “pequena tabela” mental do que cada ciclo faz).
Para
:
-
, -
, -
, - qualquer outro elemento (por exemplo
) é fixo por : .
Para
:
-
, -
, -
, -
, - qualquer outro elemento (por exemplo
) é fixo por : .
Lembrete útil: para construir ciclos disjuntos de
vou calcular
para cada
começando por um elemento não usado ainda, seguindo as imagens até voltar ao ponto inicial.
Passo 4
Começo com
. Calculo
.
-
(pois não aparece em ), - então
.
Logo.
Agora aplico
a
:
-
, -
(porque não aparece em ).
Logo.
Agora
:
-
, -
.
Logo.
Como voltamos a
, fechamos um ciclo. A sequência
corresponde ao ciclo
.
Passo 5
Escolho agora o menor elemento que ainda não foi usado:
.
Calculo .
Calculo
-
, -
.
Logo.
Agora
.
-
, -
.
Logo.
Voltamos a
, então isso forma o ciclo
.
Passo 6
Os elementos
e
não aparecem em nenhum dos ciclos iniciais, e verificando
e
vemos que ambos são fixos por
e por
, portanto também são fixos por
:
e
.
Assim a decomposição em ciclos disjuntos que contém apenas as orbitas não-triviais é
.
(Os ciclos de tamanho ,
e
, normalmente são omitidos.)
Assim a decomposição em ciclos disjuntos que contém apenas as orbitas não-triviais é
(Os ciclos de tamanho
Passo 7
Agora a ordem de uma permutação é o menor inteiro positivo
tal que
é a identidade. Quando a permutação é escrita como produto de ciclos disjuntos, a ordem é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos desses ciclos. Explicando por que: cada ciclo de comprimento
volta ao ponto inicial após
aplicações; para que todos os ciclos voltem simultaneamente é preciso um número de aplicações que seja múltiplo de todos os comprimentos — o menor desses números é o m.m.c.
Aqui os ciclos disjuntos têm comprimentos
e
. Portanto
.