Escreva cada permutação como produto de ciclos disjuntos e calcule sua ordem.
a=\left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 2 & 7\end{array}\right)(357).

Passo 1

O enunciado nos dá a permutação
a=\left(1\\\ 3\\\ 2\\\ 7\right)\left(3\\\ 5\\\ 7\right)
e pede duas coisas:
  • escrever a como produto de ciclos disjuntos;
  • calcular a ordem de a.
Informações relevantes fornecidas:
  • há dois ciclos escritos em produto: \left(1\\\ 3\\\ 2\\\ 7\right) e \left(3\\\ 5\\\ 7\right);
  • os elementos envolvidos explicitamente são 1,2,3,5,7 (os demais, como 4 e 6, não aparecem nos ciclos e portanto são candidatos a ficarem fixos).

Passo 2

Convenciona-se (e vou usar aqui) que, quando se escreve um produto de ciclos, o ciclo mais à direita é aplicado primeiro. Ou seja, se definirmos
\sigma=\left(3\\\ 5\\\ 7\right) e \tau=\left(1\\\ 3\\\ 2\\\ 7\right),
então
a=\tau\circ\sigma,
isto é, primeiro aplico \sigma ao elemento e depois aplico \tau ao resultado. É importante dizer isso porque aplicar na ordem oposta dá um resultado diferente; por isso, na hora da prova sempre confirme qual convenção está sendo usada (mas a mais comum é a que estou usando).

Passo 3

Vou escrever explicitamente o efeito de cada ciclo (isso é uma “pequena tabela” mental do que cada ciclo faz).
Para \sigma=\left(3\\\ 5\\\ 7\right):
  • \sigma(3)=5,
  • \sigma(5)=7,
  • \sigma(7)=3,
  • qualquer outro elemento (por exemplo 1,2,4,6) é fixo por \sigma: \sigma(x)=x.
Para \tau=\left(1\\\ 3\\\ 2\\\ 7\right):
  • \tau(1)=3,
  • \tau(3)=2,
  • \tau(2)=7,
  • \tau(7)=1,
  • qualquer outro elemento (por exemplo 4,5,6) é fixo por \tau: \tau(x)=x.
Lembrete útil: para construir ciclos disjuntos de a=\tau\circ\sigma vou calcular a(x)=\tau(\sigma(x)) para cada x começando por um elemento não usado ainda, seguindo as imagens até voltar ao ponto inicial.

Passo 4

Começo com 1. Calculo a(1)=\tau(\sigma(1)).
  • \sigma(1)=1 (pois 1 não aparece em \sigma),
  • então \tau(\sigma(1))=\tau(1)=3.
    Logo a(1)=3.
Agora aplico a a 3:
  • \sigma(3)=5,
  • \tau(\sigma(3))=\tau(5)=5 (porque 5 não aparece em \tau).
    Logo a(3)=5.
Agora a(5):
  • \sigma(5)=7,
  • \tau(\sigma(5))=\tau(7)=1.
    Logo a(5)=1.
Como voltamos a 1, fechamos um ciclo. A sequência 1\mapsto3\mapsto5\mapsto1 corresponde ao ciclo
\left(1\\\ 3\\\ 5\right).

Passo 5

Escolho agora o menor elemento que ainda não foi usado: 2.
Calculo a(2)=\tau(\sigma(2)).
  • \sigma(2)=2,
  • \tau(2)=7.
    Logo a(2)=7.
Agora a(7)=\tau(\sigma(7)).
  • \sigma(7)=3,
  • \tau(3)=2.
    Logo a(7)=2.
Voltamos a 2, então isso forma o ciclo \left(2\\\ 7\right).

Passo 6

Os elementos 4 e 6 não aparecem em nenhum dos ciclos iniciais, e verificando \sigma e \tau vemos que ambos são fixos por \sigma e por \tau, portanto também são fixos por a:
a(4)=4 e a(6)=6.
Assim a decomposição em ciclos disjuntos que contém apenas as orbitas não-triviais é
\left(1\\\ 3\\\ 5\right)\left(2\\\ 7\right).
(Os ciclos de tamanho 1, (4) e (6), normalmente são omitidos.)

Passo 7

Agora a ordem de uma permutação é o menor inteiro positivo k tal que a^{k} é a identidade. Quando a permutação é escrita como produto de ciclos disjuntos, a ordem é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos desses ciclos. Explicando por que: cada ciclo de comprimento m volta ao ponto inicial após m aplicações; para que todos os ciclos voltem simultaneamente é preciso um número de aplicações que seja múltiplo de todos os comprimentos — o menor desses números é o m.m.c.
Aqui os ciclos disjuntos têm comprimentos 3 e 2. Portanto
\operatorname{ord}(a)=\operatorname{lcm}(3,2)=6.

Resposta

\left(1\\\ 3\\\ 5\right)\left(2\\\ 7\right)
\operatorname{ord}(a)=6

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