Calcule o produto dos ciclos indicados.
\alpha=(145)(25)(234) \in S_{6}.

Passo 1

O enunciado dá a permutação
\alpha = (145)(25)(234) em S_{6} e pede para calcular o produto dos ciclos, ou seja, escrever \alpha como uma única permutação (preferivelmente em ciclos disjuntos). As informações relevantes são:
  • Os ciclos fornecidos, na ordem escrita, são (145), (25) e (234).
  • O grupo é S_{6}, então os elementos a considerar são 1,2,3,4,5,6.
    A pergunta é: qual é a permutação resultante \alpha em forma de ciclos disjuntos?

Passo 2

Convenção de composição: vou aplicar os ciclos da direita para a esquerda (isto é, o ciclo mais à direita age primeiro). Esta é a convenção padrão quando vemos um produto de permutações escrito assim: (145)(25)(234) significa primeiro aplicar (234), depois (25), e por fim (145). É importante saber isto para não inverter a ação.
Como proceder na prática: para cada elemento x\in\{1,2,3,4,5,6\} vamos calcular a imagem
x \xrightarrow{(234)} x_1 \xrightarrow{(25)} x_2 \xrightarrow{(145)} x_3,
ou seja, x é levado em três etapas e o resultado final é \alpha(x)=x_3. Lembrete rápido sobre ciclos: se um ciclo contém um elemento, ele envia esse elemento ao próximo no ciclo; se não contém, fixa o elemento.

Passo 3

Calculando \alpha(1):
1 \xrightarrow{(234)} 1 \quad(\text{porque }1\text{ não está no ciclo }(234)),ãá
1 \xrightarrow{(25)} 1 \quad(\text{porque }1\text{ não está no ciclo }(25)),ãá
1 \xrightarrow{(145)} 4 \quad(\text{porque }(145)\text{ envia }1\mapsto4).
Logo \alpha(1)=4.
Calculando \alpha(4):
4 \xrightarrow{(234)} 2 \quad(\text{em }(234):4\mapsto2),
2 \xrightarrow{(25)} 5 \quad(\text{em }(25):2\mapsto5),
5 \xrightarrow{(145)} 1 \quad(\text{em }(145):5\mapsto1).
Logo \alpha(4)=1.
Com os resultados acima vemos que 1\mapsto4 e 4\mapsto1, portanto há um ciclo (1\;4) na decomposição por ciclos disjuntos.

Passo 4

Calculando \alpha(2):
2 \xrightarrow{(234)} 3 \quad(\text{em }(234):2\mapsto3),
3 \xrightarrow{(25)} 3 \quad(\text{porque }3\text{ não está em }(25)),ãá
3 \xrightarrow{(145)} 3 \quad(\text{porque }3\text{ não está em }(145)).ãá
Logo \alpha(2)=3.
Calculando \alpha(3):
3 \xrightarrow{(234)} 4 \quad(\text{em }(234):3\mapsto4),
4 \xrightarrow{(25)} 4 \quad(\text{porque }4\text{ não está em }(25)),ãá
4 \xrightarrow{(145)} 5 \quad(\text{em }(145):4\mapsto5).
Logo \alpha(3)=5.
Calculando \alpha(5):
5 \xrightarrow{(234)} 5 \quad(\text{porque }5\text{ não está em }(234)),ãá
5 \xrightarrow{(25)} 2 \quad(\text{em }(25):5\mapsto2),
2 \xrightarrow{(145)} 2 \quad(\text{porque }2\text{ não está em }(145)).ãá
Logo \alpha(5)=2.
Dos passos 7–9 vemos que 2\mapsto3, 3\mapsto5, 5\mapsto2, formando o ciclo (2\;3\;5).

Passo 5

Calculando \alpha(6):
6 \xrightarrow{(234)} 6,\quad 6 \xrightarrow{(25)} 6,\quad 6 \xrightarrow{(145)} 6,
ou seja, \alpha(6)=6. O elemento 6 é fixo e normalmente omitido na notação por ciclos disjuntos.
Juntando os ciclos disjuntos descobertos, a permutação \alpha é a composição dos ciclos (1\;4) e (2\;3\;5). Como esses ciclos são disjuntos, a ordem entre eles na escrita não importa.

Resposta

\,(1\;4)(2\;3\;5)

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