Calcule o produto dos ciclos indicados. \alpha=(145)(25)(234) \in S_{6}.
Passo 1
O enunciado dá a permutação \alpha = (145)(25)(234) em S_{6} e pede para calcular o produto dos ciclos, ou seja, escrever \alpha como uma única permutação (preferivelmente em ciclos disjuntos). As informações relevantes são:
Os ciclos fornecidos, na ordem escrita, são (145), (25) e (234).
O grupo é S_{6}, então os elementos a considerar são 1,2,3,4,5,6.
A pergunta é: qual é a permutação resultante \alpha em forma de ciclos disjuntos?
Passo 2
Convenção de composição: vou aplicar os ciclos da direita para a esquerda (isto é, o ciclo mais à direita age primeiro). Esta é a convenção padrão quando vemos um produto de permutações escrito assim: (145)(25)(234) significa primeiro aplicar (234), depois (25), e por fim (145). É importante saber isto para não inverter a ação.
Como proceder na prática: para cada elemento x\in\{1,2,3,4,5,6\} vamos calcular a imagem
x \xrightarrow{(234)} x_1 \xrightarrow{(25)} x_2 \xrightarrow{(145)} x_3,
ou seja, x é levado em três etapas e o resultado final é \alpha(x)=x_3. Lembrete rápido sobre ciclos: se um ciclo contém um elemento, ele envia esse elemento ao próximo no ciclo; se não contém, fixa o elemento.
Passo 3
Calculando \alpha(1):
1 \xrightarrow{(234)} 1 \quad(\text{porque }1\text{ não está no ciclo }(234)),ãá
1 \xrightarrow{(25)} 1 \quad(\text{porque }1\text{ não está no ciclo }(25)),ãá
ou seja, \alpha(6)=6. O elemento 6 é fixo e normalmente omitido na notação por ciclos disjuntos.
Juntando os ciclos disjuntos descobertos, a permutação \alpha é a composição dos ciclos (1\;4) e (2\;3\;5). Como esses ciclos são disjuntos, a ordem entre eles na escrita não importa.