Calcule o produto dos ciclos indicados.
\beta=(23)(1456)(73) \in S_{7}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto dos ciclos
\beta = (23)(1456)(73) \in S_{7}.
Informações dadas:
  • Os fatores na expressão são os ciclos (23), (1456) e (73).
  • A permutação está em S_{7}, ou seja, atua nos elementos \{1,2,3,4,5,6,7\}.
  • A tarefa é encontrar a permutação resultante escrevendo-a, de preferência, como produto de ciclos disjuntos.

Passo 2

Convenção de composição (muito importante): vou usar a convenção usual em teoria de grupos/funções: a composição age da direita para a esquerda. Ou seja, para qualquer elemento x,
\beta(x)=(23)\bigl((1456)\bigl((73)(x)\bigr)\bigr).
Explicação curta e intuitiva: aplica-se primeiro o ciclo mais à direita, depois o do meio, e por fim o da esquerda. Essa é a maneira padrão em muitas provas e cursos; se o seu material usar a outra convenção (esquerda para a direita) o resultado pode aparecer escrito de forma diferente.

Passo 3

Lembrete sobre leitura de ciclos (para você não ficar perdido):
  • O ciclo (1456) significa 1\mapsto4, 4\mapsto5, 5\mapsto6, 6\mapsto1. Elementos não mencionados ficam fixos por esse ciclo.
  • O ciclo (23) troca 2 com 3: 2\mapsto3, 3\mapsto2.
  • O ciclo (73) troca 7 com 3: 7\mapsto3, 3\mapsto7.
    Na prática, para achar \beta(x) escolhe-se um x\in\{1,\dots,7\} e aplica-se sequencialmente os três ciclos (da direita para a esquerda), anotando o resultado em cada passo.

Passo 4

Calcular \beta(1).
  • Primeiro: (73)(1)=1 (porque (73) não mexe em 1).
  • Depois: (1456)(1)=4.
  • Por fim: (23)(4)=4.
    Logo
\beta(1)=4.

Passo 5

Calcular \beta(4).
  • Primeiro: (73)(4)=4.
  • Depois: (1456)(4)=5.
  • Por fim: (23)(5)=5.
    Logo
\beta(4)=5.

Passo 6

Calcular \beta(5).
  • Primeiro: (73)(5)=5.
  • Depois: (1456)(5)=6.
  • Por fim: (23)(6)=6.
    Logo
\beta(5)=6.

Passo 7

Calcular \beta(6).
  • Primeiro: (73)(6)=6.
  • Depois: (1456)(6)=1.
  • Por fim: (23)(1)=1.
    Logo
\beta(6)=1.
Com isso vemos que os elementos 1,4,5,6 formam o ciclo
(1\;4\;5\;6).

Passo 8

Calcular \beta(2).
  • Primeiro: (73)(2)=2.
  • Depois: (1456)(2)=2.
  • Por fim: (23)(2)=3.
    Logo
\beta(2)=3.

Passo 9

Calcular \beta(3).
  • Primeiro: (73)(3)=7.
  • Depois: (1456)(7)=7 (pois 7 não está em (1456)).
  • Por fim: (23)(7)=7.
    Logo
\beta(3)=7.

Passo 10

Calcular \beta(7).
  • Primeiro: (73)(7)=3.
  • Depois: (1456)(3)=3.
  • Por fim: (23)(3)=2.
    Logo
\beta(7)=2.
Com isso vemos que 2,3,7 formam o ciclo
(2\;3\;7).

Passo 11

Juntando os ciclos disjuntos obtidos nos passos anteriores, a permutação \beta é o produto (de ciclos disjuntos)
(1\;4\;5\;6)(2\;3\;7).
Observação didática rápida: ciclos disjuntos com elementos diferentes comutam entre si, por isso a ordem entre esses dois ciclos não importa.

Resposta

\beta=(1\;4\;5\;6)(2\;3\;7)

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