Calcule o produto dos ciclos indicados.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto dos ciclos
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os fatores na expressão são os ciclos
, e . - A permutação está em
, ou seja, atua nos elementos . - A tarefa é encontrar a permutação resultante escrevendo-a, de preferência, como produto de ciclos disjuntos.
Passo 2
Convenção de composição (muito importante): vou usar a convenção usual em teoria de grupos/funções: a composição age da direita para a esquerda. Ou seja, para qualquer elemento
,
Explicação curta e intuitiva: aplica-se primeiro o ciclo mais à direita, depois o do meio, e por fim o da esquerda. Essa é a maneira padrão em muitas provas e cursos; se o seu material usar a outra convenção (esquerda para a direita) o resultado pode aparecer escrito de forma diferente.
Passo 3
Lembrete sobre leitura de ciclos (para você não ficar perdido):
- O ciclo
significa , , , . Elementos não mencionados ficam fixos por esse ciclo. - O ciclo
troca com : , . - O ciclo
troca com : , .
Na prática, para acharescolhe-se um e aplica-se sequencialmente os três ciclos (da direita para a esquerda), anotando o resultado em cada passo.
Passo 4
Calcular
.
- Primeiro:
(porque não mexe em ). - Depois:
. - Por fim:
.
Logo
Passo 5
Calcular
.
- Primeiro:
. - Depois:
. - Por fim:
.
Logo
Passo 6
Calcular
.
- Primeiro:
. - Depois:
. - Por fim:
.
Logo
Passo 7
Calcular
.
- Primeiro:
. - Depois:
. - Por fim:
.
Logo
Com isso vemos que os elementos
formam o ciclo
Passo 8
Calcular
.
- Primeiro:
. - Depois:
. - Por fim:
.
Logo
Passo 9
Calcular
.
- Primeiro:
. - Depois:
(pois não está em ). - Por fim:
.
Logo
Passo 10
Calcular
.
- Primeiro:
. - Depois:
. - Por fim:
.
Logo
Com isso vemos que
formam o ciclo
Passo 11
Juntando os ciclos disjuntos obtidos nos passos anteriores, a permutação
é o produto (de ciclos disjuntos)
Observação didática rápida: ciclos disjuntos com elementos diferentes comutam entre si, por isso a ordem entre esses dois ciclos não importa.