ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\operatorname { arctg }} \boldsymbol{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede os 5 (cinco) primeiros termos não nulos do desenvolvimento em série de Maclaurin (isto é, série de Taylor centrada em 0) da função \operatorname{arctg} x.
  • Pede também, por indução simples, o termo geral de ordem n (o n-ésimo termo) da série.
  • Informação que temos: a função dada é \operatorname{arctg} x (arco-tangente), queremos sua expansão em potências de x ao redor de 0.

Passo 2

Conceito essencial (bem mastigado): série de Maclaurin
  • A série de Maclaurin de uma função f é a série de potências centrada em 0:
f(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{(m)}(0)}{m!}x^{m},
quando essa soma converge para f(x).
  • Um truque muito útil: em vez de calcular muitas derivadas de \operatorname{arctg} x, podemos usar séries já conhecidas (por exemplo a série geométrica) e integrar/derivar conforme necessário. Isso normalmente dá a série de \operatorname{arctg} x de forma mais rápida e clara.

Passo 3

Série geométrica e substituição
  • Lembrando a série geométrica: para |u|<1,
\frac{1}{1+u}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}u^{k}.
  • Fazendo a substituição u=t^{2} (ou seja, u=t^2), obtemos, válida para |t|<1,
\frac{1}{1+t^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{2k}.
Essa identidade é a base porque a derivada de \operatorname{arctg} t é exatamente 1/(1+t^2).

Passo 4

Integrando termo a termo para obter \operatorname{arctg} x
  • Sabendo que \dfrac{d}{dt}\big(\operatorname{arctg} t\big)=\dfrac{1}{1+t^{2}} e que \operatorname{arctg} 0=0, podemos recuperar \operatorname{arctg} x integrando de 0 a x:
\operatorname{arctg} x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
  • Como a série para 1/(1+t^2) converge uniformemente em qualquer intervalo [-a,a] com a<1, é permitido integrar termo a termo. Integrando a série \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{2k} de 0 a x obtemos:
\operatorname{arctg} x=\int_{0}^{x}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{2k}\,dt=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\int_{0}^{x}t^{2k}\,dt.

Passo 5

Calcular as integrais e escrever a série geral
  • A integral simples \displaystyle\int_{0}^{x} t^{2k}\,dt = \frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
  • Portanto:
\operatorname{arctg} x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{2k+1},
válido para |x|<1 (na fronteira x=\pm1 a série converge condicionalmente).
  • Esta é a forma mais direta da série. Agora escrevemos os primeiros cinco termos não nulos retirando os k=0,1,2,3,4:

Passo 6

Primeiros cinco termos não nulos (explicitando sinais e coeficientes)
  • Substituindo k=0,1,2,3,4 em \displaystyle(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}:
    • k=0:\; \dfrac{x^{1}}{1}=x.
    • k=1:\; -\dfrac{x^{3}}{3}.
    • k=2:\; +\dfrac{x^{5}}{5}.
    • k=3:\; -\dfrac{x^{7}}{7}.
    • k=4:\; +\dfrac{x^{9}}{9}.
  • Assim os cinco primeiros termos não nulos são:
x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{9}}{9}.

Passo 7

Prova por indução simples do termo geral (forma com índice n)
  • Desejamos uma fórmula do n-ésimo termo em uma indexação natural (começando em n=1). Observe que o termo com potência x^{2k+1} corresponde a k começando em 0. Para indexar por n=1,2,\dots é conveniente associar n=k+1, ou seja k=n-1.
  • A partir da forma obtida \displaystyle(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}, fazendo k=n-1 obtemos o n-ésimo termo:
a_{n}=(-1)^{\,n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1},\qquad n=1,2,3,\dots
  • Indução (esquema simples) para confirmar a fórmula:
    • Base n=1: a_{1}=(-1)^{0}\dfrac{x^{1}}{1}=x, que coincide com o primeiro termo.
    • Passo indutivo: suponha que o n-ésimo termo seja a_{n}=(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}. O próximo termo ( n+1) corresponde a k incrementado em 1, e pela construção via integração da série geométrica o fator em potência aumenta de 2n-1 para 2(n+1)-1=2n+1 e o sinal troca (multiplica por -1). Logo
    a_{n+1}=(-1)^{(n+1)-1}\frac{x^{2(n+1)-1}}{2(n+1)-1}=(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},que confirma a fórmula para n+1. Isso fecha a indução.
  • Portanto a expressão do n-ésimo termo está demonstrada por indução simples.

Resposta

\operatorname{arctg} x = x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{x^{7}}{7} + \dfrac{x^{9}}{9} + \cdots
\text{Termo geral (n-ésimo): } a_{n}=(-1)^{\,n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1},\quad n=1,2,3,\dotsé

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