ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede os 5 (cinco) primeiros termos não nulos do desenvolvimento em série de Maclaurin (isto é, série de Taylor centrada em
) da função . - Pede também, por indução simples, o termo geral de ordem
(o -ésimo termo) da série. - Informação que temos: a função dada é
(arco-tangente), queremos sua expansão em potências de ao redor de .
Passo 2
Conceito essencial (bem mastigado): série de Maclaurin
- A série de Maclaurin de uma função
é a série de potências centrada em :
quando essa soma converge para
.
- Um truque muito útil: em vez de calcular muitas derivadas de
, podemos usar séries já conhecidas (por exemplo a série geométrica) e integrar/derivar conforme necessário. Isso normalmente dá a série de de forma mais rápida e clara.
Passo 3
Série geométrica e substituição
- Lembrando a série geométrica: para
,
- Fazendo a substituição
(ou seja, ), obtemos, válida para ,
Essa identidade é a base porque a derivada de
é exatamente
.
Passo 4
Integrando termo a termo para obter
- Sabendo que
e que , podemos recuperar integrando de a :
- Como a série para
converge uniformemente em qualquer intervalo com , é permitido integrar termo a termo. Integrando a série de a obtemos:
Passo 5
Calcular as integrais e escrever a série geral
- A integral simples
. - Portanto:
válido para
(na fronteira
a série converge condicionalmente).
- Esta é a forma mais direta da série. Agora escrevemos os primeiros cinco termos não nulos retirando os
:
Passo 6
Primeiros cinco termos não nulos (explicitando sinais e coeficientes)
- Substituindo
em : -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Assim os cinco primeiros termos não nulos são:
Passo 7
Prova por indução simples do termo geral (forma com índice
)
- Desejamos uma fórmula do
-ésimo termo em uma indexação natural (começando em ). Observe que o termo com potência corresponde a começando em . Para indexar por é conveniente associar , ou seja . - A partir da forma obtida
, fazendo obtemos o -ésimo termo:
- Indução (esquema simples) para confirmar a fórmula:
- Base
: , que coincide com o primeiro termo. - Passo indutivo: suponha que o
-ésimo termo seja . O próximo termo ( ) corresponde a incrementado em , e pela construção via integração da série geométrica o fator em potência aumenta de para e o sinal troca (multiplica por ). Logo
que confirma a fórmula para . Isso fecha a indução. - Base
- Portanto a expressão do
-ésimo termo está demonstrada por indução simples.