ESCREVA A SÉRIE DE TAYLOR DE \mathrm{f}(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{X}} DESENVOLVIDA EM TORNO DE \mathrm{X}_{0}=1. ESTA FUNÇÃO PODE SER DESENVOLVIDA E SÉRIE DE MACLAURIN? PORQUÊ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem a série de Taylor de \mathrm{f}(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{X}} desenvolvida em torno de \mathrm{X}_0=1.
  • Perguntam também se essa função pode ser desenvolvida em série de Maclaurin (ou seja, em torno de \mathrm{X}_0=0) e por quê.
  • Informação útil: a função está definida para \mathrm{X}\ge0 (no real) e é suave para \mathrm{X}>0, mas tem comportamento singular nas derivadas em \mathrm{X}=0.

Passo 2

Fórmula geral de Taylor (lembrete rápido didático).
  • A série de Taylor de uma função f em torno de um ponto a é
f(X)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(X-a)^n,
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a.
  • Aqui a=1. Calcular diretamente f^{(n)}(1) para todos os n dá muita conta; existe um atalho elegante: escrever X=1+u (substituição) e expandir (1+u)^{1/2} usando a série binomial generalizada.

Passo 3

Série binomial generalizada (explicação didática).
  • A identidade (válida como série formal e convergente para |u|<1) é
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^n,
onde a coefficient generalizada é
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
com \binom{\alpha}{0}=1.
  • No nosso caso \alpha=\tfrac12. Então, com u=X-1,
\sqrt{X}=(1+u)^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n} (X-1)^n.
Essa é já a série de Taylor centrada em X_0=1 (porque escrevemos em potências de X-1).

Passo 4

Cálculo explícito dos primeiros coeficientes (mostrar as contas para decorar na prova).
  • n=0:\quad \binom{1/2}{0}=1.
  • n=1:\quad \binom{1/2}{1}=\tfrac12.
  • n=2:\quad \binom{1/2}{2}=\dfrac{(1/2)(-1/2)}{2}=-\dfrac{1}{8}.
    Cálculo detalhado: (1/2)(-1/2)=-1/4; dividir por 2!=2 -1/8.
  • n=3:\quad \binom{1/2}{3}=\dfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6}=\dfrac{1}{16}.
    Cálculo: (1/2)(-1/2)=-1/4; multiplicar por -3/2 3/8; dividir por 6 1/16.
  • n=4:\quad \binom{1/2}{4}=\dfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)}{24}=-\dfrac{5}{128}.
  • Assim os primeiros termos são
\sqrt{X}=1+\tfrac12(X-1)-\tfrac18(X-1)^2+\tfrac{1}{16}(X-1)^3-\tfrac{5}{128}(X-1)^4+\cdots.
Na prova, decorar os dois ou três primeiros termos salva tempo; o termo geral usa a fórmula \binom{1/2}{n}.

Passo 5

Forma compacta e termo geral (útil para justificar respostas).
  • A forma compacta e correta é
\sqrt{X}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(X-1)^n,
com
\binom{1/2}{n}=\frac{\tfrac12\bigl(\tfrac12-1\bigr)\bigl(\tfrac12-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12-n+1\bigr)}{n!}.
  • Esse é exatamente a série de Taylor em torno de X_0=1. Serve para substituir na prova quando pedirem “desenvolva em torno de 1”.

Passo 6

Raio de convergência (como justificar que a série vale numa vizinhança).
  • Use a razão entre coeficientes: para a_n=\binom{1/2}{n},
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\tfrac12-n}{n+1}\longrightarrow -1\quad\text{quando }n\to\infty.
Pela razão aplicada ao termo geral a_n (X-1)^n obtemos limite |X-1|. Logo a série converge se |X-1|<1. Assim o raio de convergência é R=1, isto é a série converge para
|X-1|<1\quad\Longleftrightarrow\quad 0<X<2.
(Observação curta: nos pontos extremos X=0 e X=2 a convergência pode ser tratada com cuidado; o importante para a maioria das provas é saber R=1 e a expressão da série.)

Passo 7

A pergunta sobre Maclaurin (série em torno de X_0=0) — explicação didática e intuitiva.
  • Série de Maclaurin é Taylor em a=0. Para existir uma série de potências em torno de 0 com raio positivo, a função deve ser analisável (analítica) em vizinhança de 0; em particular todas as derivadas em 0 devem existir e ser finitas.
  • Aqui f(X)=X^{1/2}. As primeiras derivadas são
f'(X)=\tfrac12 X^{-1/2},\qquad f''(X)=-\tfrac14 X^{-3/2},\\ \text{etc.}
essas derivadas divergem quando X\to0^+. Em particular f'(0) não existe (é infinito). Logo não é possível escrever \sqrt{X} como uma série de potências em X (com potências inteiras não negativas) com centro em 0 e raio positivo.
  • Intuição: próximo de 0 a função comporta-se como X^{1/2}, que não é somável em potências inteiras de X (as potências fracionárias aparecem); a expansão natural usa potências de X^{1/2}, não de X inteiro.

Resposta

\displaystyle \sqrt{X}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\,(X-1)^n =1+\tfrac12(X-1)-\tfrac18(X-1)^2+\tfrac{1}{16}(X-1)^3-\tfrac{5}{128}(X-1)^4+\cdots,\quad |X-1|<1.
Não; \sqrt{X} não admite desenvolvimento em série de Maclaurin (em potências inteiras de X com raio positivo) porque as derivadas em 0 (por exemplo f'(X)=\tfrac12X^{-1/2}) divergem em X=0, isto é, a função não é analítica em 0.

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