ESCREVA A SÉRIE DE TAYLOR DE
DESENVOLVIDA EM TORNO DE
. ESTA FUNÇÃO PODE SER DESENVOLVIDA E SÉRIE DE MACLAURIN? PORQUÊ?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem a série de Taylor de
desenvolvida em torno de . - Perguntam também se essa função pode ser desenvolvida em série de Maclaurin (ou seja, em torno de
) e por quê. - Informação útil: a função está definida para
(no real) e é suave para , mas tem comportamento singular nas derivadas em .
Passo 2
Fórmula geral de Taylor (lembrete rápido didático).
- A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
- Aqui
. Calcular diretamente para todos os dá muita conta; existe um atalho elegante: escrever (substituição) e expandir usando a série binomial generalizada.
Passo 3
Série binomial generalizada (explicação didática).
- A identidade (válida como série formal e convergente para
) é
onde a coefficient generalizada é
com
.
- No nosso caso
. Então, com ,
Essa é já a série de Taylor centrada em
(porque escrevemos em potências de
).
Passo 4
Cálculo explícito dos primeiros coeficientes (mostrar as contas para decorar na prova).
-
-
-
Cálculo detalhado:; dividir por dá . -
Cálculo:; multiplicar por dá ; dividir por dá . -
- Assim os primeiros termos são
Na prova, decorar os dois ou três primeiros termos salva tempo; o termo geral usa a fórmula
.
Passo 5
Forma compacta e termo geral (útil para justificar respostas).
- A forma compacta e correta é
com
- Esse é exatamente a série de Taylor em torno de
. Serve para substituir na prova quando pedirem “desenvolva em torno de 1”.
Passo 6
Raio de convergência (como justificar que a série vale numa vizinhança).
- Use a razão entre coeficientes: para
,
Pela razão aplicada ao termo geral
obtemos limite
. Logo a série converge se
. Assim o raio de convergência é
, isto é a série converge para
(Observação curta: nos pontos extremos
e
a convergência pode ser tratada com cuidado; o importante para a maioria das provas é saber
e a expressão da série.)
Passo 7
A pergunta sobre Maclaurin (série em torno de
) — explicação didática e intuitiva.
- Série de Maclaurin é Taylor em
. Para existir uma série de potências em torno de com raio positivo, a função deve ser analisável (analítica) em vizinhança de ; em particular todas as derivadas em devem existir e ser finitas. - Aqui
. As primeiras derivadas são
essas derivadas divergem quando
. Em particular
não existe (é infinito). Logo não é possível escrever
como uma série de potências em
(com potências inteiras não negativas) com centro em
e raio positivo.
- Intuição: próximo de
a função comporta-se como , que não é somável em potências inteiras de (as potências fracionárias aparecem); a expansão natural usa potências de , não de inteiro.
Resposta
Não;