ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Escrever os 5 (cinco) primeiros termos não nulos do desenvolvimento em série de Maclaurin de
. - Por indução simples escrever o termo geral de ordem
(o -ésimo termo).
Informações dadas e convenções:
- A função é
. - Série de Maclaurin significa expansão em torno de
. - “Primeiros termos não nulos” significa listar os cinco primeiros termos com potências não nulas (notar que alguns coeficientes serão zero).
- Vou trabalhar no intervalo de convergência onde a expansão é clássica:
(mais adiante comento sobre os pontos extremos).
Passo 2
Ideia principal (fórmula que vamos usar): a derivada de
é
Há uma identidade muito útil (série geométrica alternada): para
,
Aqui vou aplicar essa identidade com
. Antes, mostro por uma indução simples uma propriedade das somas parciais que justifica essa expansão quando
.
Passo 3
Prova por indução (simples) da identidade parcial que gera a série:
defina
defina
Vou provar por indução em
que
Base
:
e
, ok (a fórmula com
dá
quando
).
Passo indutivo: suponha válido para
. Então
Multiplicando por
:
Pela hipótese indutiva
, então
Os dois termos do meio somam zero, sobrando
que é exatamente a fórmula para
. Assim a identidade parcial está provada por indução.
Tomando
e lembrando que para
o termo
, obtemos
Passo 4
Agora integramos termo a termo para recuperar
. Como
, podemos escrever
Substituindo a série de
(válida uniformemente em qualquer segmento
com
) e integrando termo a termo:
Calculando a integral de cada termo:
Portanto obtemos a série de Maclaurin:
Passo 5
Interpretação do termo geral em função do índice
é par},\[4pt] \dfrac{(-1){k}}{2k+1},x{2k+1}, & se
é ímpar. \end{cases}]
A prova por indução pedida foi feita de forma simples anteriormente: a expansão de
foi obtida usando uma identidade que foi provada por indução nas somas parciais; a série de
decorre integrando-se termo a termo essa expansão, o que fornece explicitamente o fator
no denominador.]
Passo 6
Escrevendo explicitamente os cinco primeiros termos não nulos (os cinco primeiros termos com potência distinta de zero são os primeiros cinco termos da soma acima, para
):
Resposta
[\operatorname{arctg}x = x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{x^{7}}{7} + \dfrac{x^{9}}{9} + \cdots)
]