ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\operatorname { a r c t g }} \boldsymbol{x}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escrever os 5 (cinco) primeiros termos não nulos do desenvolvimento em série de Maclaurin de \operatorname{arctg}x.
  • Por indução simples escrever o termo geral de ordem n (o n-ésimo termo).
Informações dadas e convenções:
  • A função é f(x)=\operatorname{arctg}x.
  • Série de Maclaurin significa expansão em torno de x=0.
  • “Primeiros termos não nulos” significa listar os cinco primeiros termos com potências não nulas (notar que alguns coeficientes serão zero).
  • Vou trabalhar no intervalo de convergência onde a expansão é clássica: |x|<1 (mais adiante comento sobre os pontos extremos).

Passo 2

Ideia principal (fórmula que vamos usar): a derivada de \operatorname{arctg}x é
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Há uma identidade muito útil (série geométrica alternada): para |u|<1,
\frac{1}{1+u}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}u^{k}.
Aqui vou aplicar essa identidade com u=x^{2}. Antes, mostro por uma indução simples uma propriedade das somas parciais que justifica essa expansão quando u=x^{2}.

Passo 3

Prova por indução (simples) da identidade parcial que gera a série:
defina
S_{m}(x)=\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}x^{2k}.
Vou provar por indução em m que
(1+x^{2})S_{m}(x)=1+(-1)^{m}x^{2m+2}.
Base m=0: S_{0}(x)=1 e (1+x^{2})S_{0}(x)=1+x^{2}=1+(-1)^{0}x^{2}, ok (a fórmula com 2m+2 2 quando m=0).
Passo indutivo: suponha válido para m. Então
S_{m+1}(x)=S_{m}(x)+(-1)^{m+1}x^{2m+2}.
Multiplicando por 1+x^{2}:
(1+x^{2})S_{m+1}(x)=(1+x^{2})S_{m}(x)+(-1)^{m+1}x^{2m+2}(1+x^{2}).
Pela hipótese indutiva (1+x^{2})S_{m}(x)=1+(-1)^{m}x^{2m+2}, então
(1+x^{2})S_{m+1}(x)=1+(-1)^{m}x^{2m+2}+(-1)^{m+1}x^{2m+2}+(-1)^{m+1}x^{2m+4}.
Os dois termos do meio somam zero, sobrando
(1+x^{2})S_{m+1}(x)=1+(-1)^{m+1}x^{2m+4},
que é exatamente a fórmula para m+1. Assim a identidade parcial está provada por indução.
Tomando m\to\infty e lembrando que para |x|<1 o termo (-1)^{m}x^{2m+2}\to0, obtemos
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{2k}\qquad(|x|<1).

Passo 4

Agora integramos termo a termo para recuperar \operatorname{arctg}x. Como \operatorname{arctg}0=0, podemos escrever
\operatorname{arctg}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Substituindo a série de 1/(1+t^{2}) (válida uniformemente em qualquer segmento [-a,a] com a<1) e integrando termo a termo:
\operatorname{arctg}x=\int_{0}^{x}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{2k}\,dt =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\int_{0}^{x}t^{2k}\,dt.
Calculando a integral de cada termo:
\int_{0}^{x}t^{2k}\,dt=\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Portanto obtemos a série de Maclaurin:
\operatorname{arctg}x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{2k+1},\qquad |x|<1.

Passo 5

Interpretação do termo geral em função do índice n\): - Os termos existem apenas para potências ímpares. Se \(n\) é par, o coeficiente de \(x^{n}\) é zero. - Se \(n\) é ímpar, escreva \(n=2k+1\) com \(k\in\{0,1,2,\dots\}\). O coeficiente do termo \(x^{2k+1}\) é \((-1)^{k}/(2k+1)\). Logo o \(n\)-ésimo termo (termo associado à potência \(x^{n}\)) é \[\begin{cases} 0, & \text{se \(n é par},\[4pt] \dfrac{(-1){k}}{2k+1},x{2k+1}, & se n=2k+1 é ímpar. \end{cases}]
A prova por indução pedida foi feita de forma simples anteriormente: a expansão de 1/(1+x^{2}) foi obtida usando uma identidade que foi provada por indução nas somas parciais; a série de \operatorname{arctg}x decorre integrando-se termo a termo essa expansão, o que fornece explicitamente o fator 1/(2k+1) no denominador.]

Passo 6

Escrevendo explicitamente os cinco primeiros termos não nulos (os cinco primeiros termos com potência distinta de zero são os primeiros cinco termos da soma acima, para k=0,1,2,3,4):
\operatorname{arctg}x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{9}}{9} + \cdots

Resposta

[\operatorname{arctg}x = x - \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{x^{5}}{5} - \dfrac{x^{7}}{7} + \dfrac{x^{9}}{9} + \cdots)
\text{Coeficiente geral: } a_{n}=\begin{cases}0,&\text{se \(n\] é par},\\[4pt]\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1},&\text{se }n=2k+1\text{ (ímpar).}\end{cases}]

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