Escreva os cinco primeiros termos da sequência:
a_{n}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede os cinco primeiros termos da sequência
a_{n}=\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n-1)}{n!}.
Aqui estamos lidando com produto de números ímpares até 2n-1 e fatoriais. Para resolver, vamos expressar esse produto como duplo fatorial e depois calcular para n=1,2,3,4,5.

Passo 2

O numerador é o produto dos primeiros n ímpares, que se chama duplo fatorial de (2n-1), ou seja
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=(2n-1)!!.
Logo
a_{n}=\frac{(2n-1)!!}{n!}.

Passo 3

Calcular a_{1} e a_{2}:
Para n=1: (2\cdot1-1)!!=1!!=1 e 1!=1, então
a_{1}=\frac{1}{1}=1.
Para n=2: (2\cdot2-1)!!=3!!=1\cdot3=3 e 2!=2, então
a_{2}=\frac{3}{2}.

Passo 4

Calcular a_{3} e a_{4}:
Para n=3: (2\cdot3-1)!!=5!!=1\cdot3\cdot5=15 e 3!=6, então
a_{3}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}.
Para n=4: (2\cdot4-1)!!=7!!=1\cdot3\cdot5\cdot7=105 e 4!=24, então
a_{4}=\frac{105}{24}=\frac{35}{8}.

Passo 5

Calcular a_{5}:
Para n=5: (2\cdot5-1)!!=9!!=1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9=945 e 5!=120, então
a_{5}=\frac{945}{120}=\frac{63}{8}.

Resposta

a_{1}=1 a_{2}=\tfrac{3}{2} a_{3}=\tfrac{5}{2} a_{4}=\tfrac{35}{8} a_{5}=\tfrac{63}{8}

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