Escreva os cinco primeiros termos da sequência.
a_{n}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os cinco primeiros termos da sequência
a_{n}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{n!}.
Informações dadas e o que é necessário:
  • A fórmula geral da sequência é \displaystyle a_{n}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{n!}.
  • O numerador é o produto dos n primeiros números ímpares: 1,3,5,\dots,(2n-1).
  • O denominador é o fatorial de n: n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
  • O que se pede: calcular a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}.

Passo 2

Explicando conceitos básicos que vamos usar (calma, passo a passo):
  • Fatorial: \displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n. Exemplos úteis para a prova:
    \displaystyle 1!=1,\;2!=2,\;3!=6,\;4!=24,\;5!=120.
  • Produto dos ímpares até (2n-1): para cada n você multiplica os primeiros n ímpares. Ex.: para n=3 o numerador é 1\cdot3\cdot5.
  • Simplificação de frações: ao obter uma fração, você pode dividir numerador e denominador por fatores em comum para simplificar (por exemplo dividir por 2, 3, 5, etc.).

Passo 3

Calcular a_{1}.
  • Numerador: produto dos primeiros 1 ímpar = 1.
  • Denominador: 1!=1.
  • Portanto
a_{1}=\frac{1}{1}=1.

Passo 4

Calcular a_{2}.
  • Numerador: 1\cdot 3=3.
  • Denominador: 2!=2.
  • Então
a_{2}=\frac{3}{2}.
(Sem simplificação adicional possível além de deixar como \tfrac{3}{2}.)

Passo 5

Calcular a_{3}.
  • Numerador: 1\cdot 3\cdot 5=15.
  • Denominador: 3!=6.
  • Simplificando:
\frac{15}{6}=\frac{15\div 3}{6\div 3}=\frac{5}{2}.
Logo
a_{3}=\frac{5}{2}.

Passo 6

Calcular a_{4}.
  • Numerador: 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7. Vamos multiplicar passo a passo: 1\cdot3=3, 3\cdot5=15, 15\cdot7=105.
  • Denominador: 4!=24.
  • Simplificação: ambos têm fator 3: 105\div 3=35 e 24\div 3=8. Então
a_{4}=\frac{105}{24}=\frac{35}{8}.

Passo 7

Calcular a_{5}.
  • Numerador: 1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9. Já tínhamos 1\cdot3\cdot5\cdot7=105; então 105\cdot9=945.
  • Denominador: 5!=120.
  • Simplificação: divido por 5 primeiro: 945\div5=189, 120\div5=24. Depois divido por 3: 189\div3=63, 24\div3=8. Assim
a_{5}=\frac{945}{120}=\frac{63}{8}.

Resposta

a_{1}=1
a_{2}=\dfrac{3}{2}
a_{3}=\dfrac{5}{2}
a_{4}=\dfrac{35}{8}
a_{5}=\dfrac{63}{8}

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