Questão 6. (QUESTÃO EXTRA) Determine o domínio e a imagem de f(x)= 1+\sqrt{2+3 x}. Depois mostre que f é bijetiva e encontre a sua função inversa.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=1+\sqrt{2+3x}
e pede três coisas: (a) determinar o domínio de f; (b) determinar a imagem (conjunto-valor) de f; (c) mostrar que f é bijetiva e encontrar sua função inversa.
As informações relevantes que temos explicitamente são a fórmula de f e que a raiz quadrada usada é a raiz principal (sempre não negativa).

Passo 2

Determinar o domínio: a única restrição vem do radicando da raiz quadrada. Para que a expressão esteja bem definida em \mathbb{R} precisamos ter o radicando maior ou igual a zero:
2+3x \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade:
3x \ge -2 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\frac{2}{3}.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os x tais que x\ge -\dfrac{2}{3}.

Passo 3

Explicar o comportamento da função na borda do domínio e no infinito para ajudar a achar a imagem. Avaliando f no menor ponto permitido x=-\dfrac{2}{3} (dados obtidos da Passo 2):
f\!\left(-\frac{2}{3}\right)=1+\sqrt{2+3\left(-\frac{2}{3}\right)}=1+\sqrt{2-2}=1+0=1.
Agora, se x\to +\infty então 2+3x\to +\infty e \sqrt{2+3x}\to +\infty, logo f(x)\to +\infty. Assim o menor valor possível de f é 1 e não há teto superior — isso sugere imagem [1,\infty). Para tornar isso rigoroso precisamos mostrar que todo y\ge 1 é atingido por algum x do domínio (surjetividade sobre [1,\infty)), o que faremos adiante.

Passo 4

Provar que f é estritamente crescente (isso dá injetividade). Tome x_1,x_2 no domínio com x_1<x_2. Então
2+3x_1 < 2+3x_2
porque multiplicação por 3>0 preserva a desigualdade. Como a função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é estritamente crescente no intervalo [0,\infty), segue que
\sqrt{2+3x_1} < \sqrt{2+3x_2}.
Somando 1 aos dois lados,
f(x_1)=1+\sqrt{2+3x_1} < 1+\sqrt{2+3x_2}=f(x_2).
Logo f é estritamente crescente no domínio; portanto f é injetiva. (Breve justificativa de por que \sqrt{\cdot} é crescente: se 0\le a<b então \sqrt{b}-\sqrt{a}=\dfrac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}>0.)

Passo 5

Provar que a imagem é [1,\infty) (surjetividade sobre esse conjunto). Seja y um número com y\ge 1. Queremos encontrar x no domínio tal que f(x)=y. Começamos resolvendo a equação
y = 1 + \sqrt{2+3x}.
Isolando a raiz,
y-1 = \sqrt{2+3x}.
Como y\ge 1, temos y-1\ge 0, logo é legítimo elevar ambos os lados ao quadrado sem introduzir soluções extranhas:
(y-1)^2 = 2+3x.
Isolando x,
3x = (y-1)^2 - 2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{(y-1)^2 - 2}{3}.
Agora precisamos checar que esse x pertence ao domínio, ou seja, \displaystyle x\ge -\frac{2}{3}. Multiplicando a condição por 3 (positivo) obtemos equivalência com
(y-1)^2 - 2 \ge -2 \quad\Leftrightarrow\quad (y-1)^2 \ge 0,
que é verdade para todo y. Portanto o x encontrado está no domínio. Conclusão: para qualquer y\ge 1 existe x tal que f(x)=y, logo a imagem de f é exatamente [1,\infty). Combinando com a injetividade do Passo 4, f é bijetiva entre [-\tfrac{2}{3},\infty) e [1,\infty).

Passo 6

Encontrar a função inversa explicitamente: a expressão que encontramos resolvendo y=1+\sqrt{2+3x} para x já dá a inversa. Se chamarmos a variável da função inversa de t (ou podemos usar x novamente), para t\in[1,\infty) temos
f^{-1}(t)=\frac{(t-1)^2-2}{3}.
É comum escrever a inversa como função de x, verificando que seu domínio é a imagem de f:
f^{-1}(x)=\frac{(x-1)^2-2}{3},\qquad x\in[1,\infty).

Passo 7

Verificação rápida por composições (confirmação final): para x\in[1,\infty),
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=1+\sqrt{2+3\cdot\frac{(x-1)^2-2}{3}}=1+\sqrt{(x-1)^2}=1+|x-1|=x,
pois x\ge 1 implica |x-1|=x-1. E para x\in\bigl[-\tfrac{2}{3},\infty\bigr),
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\frac{\bigl(1+\sqrt{2+3x}-1\bigr)^2-2}{3}=\frac{\bigl(\sqrt{2+3x}\bigr)^2-2}{3}=\frac{2+3x-2}{3}=x.
Essas igualdades confirmam que a expressão dada realmente é a inversa de f.

Resposta

Domínio: \left[-\dfrac{2}{3},\infty\right)
Imagem: [1,\infty)
f^{-1}(x)=\dfrac{(x-1)^2-2}{3}, com domínio x\in[1,\infty)

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