Questão 6. (QUESTÃO EXTRA) Determine o domínio e a imagem de
. Depois mostre que
é bijetiva e encontre a sua função inversa.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas: (a) determinar o domínio de
; (b) determinar a imagem (conjunto-valor) de
; (c) mostrar que
é bijetiva e encontrar sua função inversa.
As informações relevantes que temos explicitamente são a fórmula de e que a raiz quadrada usada é a raiz principal (sempre não negativa).
As informações relevantes que temos explicitamente são a fórmula de
Passo 2
Determinar o domínio: a única restrição vem do radicando da raiz quadrada. Para que a expressão esteja bem definida em
precisamos ter o radicando maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto o domínio é o conjunto de todos os
tais que
.
Passo 3
Explicar o comportamento da função na borda do domínio e no infinito para ajudar a achar a imagem. Avaliando
no menor ponto permitido
(dados obtidos da Passo 2):
Agora, se
então
e
, logo
. Assim o menor valor possível de
é
e não há teto superior — isso sugere imagem
. Para tornar isso rigoroso precisamos mostrar que todo
é atingido por algum
do domínio (surjetividade sobre
), o que faremos adiante.
Passo 4
Provar que
é estritamente crescente (isso dá injetividade). Tome
no domínio com
. Então
porque multiplicação por
preserva a desigualdade. Como a função raiz quadrada
é estritamente crescente no intervalo
, segue que
Somando
aos dois lados,
Logo
é estritamente crescente no domínio; portanto
é injetiva. (Breve justificativa de por que
é crescente: se
então
.)
Passo 5
Provar que a imagem é
(surjetividade sobre esse conjunto). Seja
um número com
. Queremos encontrar
no domínio tal que
. Começamos resolvendo a equação
Isolando a raiz,
Como
, temos
, logo é legítimo elevar ambos os lados ao quadrado sem introduzir soluções extranhas:
Isolando
,
Agora precisamos checar que esse
pertence ao domínio, ou seja,
. Multiplicando a condição por
(positivo) obtemos equivalência com
que é verdade para todo
. Portanto o
encontrado está no domínio. Conclusão: para qualquer
existe
tal que
, logo a imagem de
é exatamente
. Combinando com a injetividade do Passo 4,
é bijetiva entre
e
.
Passo 6
Encontrar a função inversa explicitamente: a expressão que encontramos resolvendo
para
já dá a inversa. Se chamarmos a variável da função inversa de
(ou podemos usar
novamente), para
temos
É comum escrever a inversa como função de
, verificando que seu domínio é a imagem de
:
Passo 7
Verificação rápida por composições (confirmação final): para
,
pois
implica
. E para
,
Essas igualdades confirmam que a expressão dada realmente é a inversa de
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
, com domínio
Imagem: