Dadas as funções f(x)=x^{2}-1 e g(x)=2 x+1, encontre:
f g

Passo 1

O enunciado dá as duas funções f e g e pede que encontremos f g.
As informações fornecidas são:
f(x)=x^{2}-1
g(x)=2x+1
A pergunta é: qual é a expressão da função f g (isto é, f vezes g) em termos de x?

Passo 2

Primeiro, vamos deixar claro o que significa f g. Quando escrevemos f g estamos normalmente indicando o produto ponto a ponto das funções, isto é, a função h definida por
h(x)=(f g)(x)=f(x)\cdot g(x).
Isso significa: para cada valor de x substituímos nas duas funções e multiplicamos os resultados.

Passo 3

Escrevemos então explicitamente o produto usando as expressões dadas:
(fg)(x)=(x^{2}-1)\cdot(2x+1).
Aqui eu só troquei f(x) e g(x) pelas fórmulas que o enunciado deu.

Passo 4

Agora vamos multiplicar os dois polinômios. A técnica básica é a propriedade distributiva (também chamada de método “FOIL” para produtos de dois binômios): multiplicamos cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo e somamos os resultados. Vou lembrar a propriedade distributiva de forma simples:
(a+b)(c+d)=a c + a d + b c + b d,
onde a,b,c,d são expressões quaisquer. No nosso caso, a=x^{2}, b=-1, c=2x e d=1.

Passo 5

Aplicando a distributiva passo a passo:
Multiplicamos x^{2} por 2x:
x^{2}\cdot 2x = 2x^{3}.
Multiplicamos x^{2} por 1:
x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
Multiplicamos -1 por 2x:
-1\cdot 2x = -2x.
Multiplicamos -1 por 1:
-1\cdot 1 = -1.

Passo 6

Somando todos os termos obtidos (que é o que manda a distributiva), temos:
(fg)(x)=2x^{3} + x^{2} -2x -1.
Agora agrupamos termos semelhantes se houvesse; aqui já estão ordenados por grau decrescente e não há termos semelhantes adicionais para combinar.

Passo 7

Comentário sobre domínio e verificação rápida: ambas f e g são polinômios, então estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. O produto também é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}. Podemos checar com um valor numérico simples, por exemplo x=1:
f(1)=1^{2}-1=0,\qquad g(1)=2\cdot1+1=3,\qquad (fg)(1)=0\cdot3=0.
Plugando x=1 na nossa expressão final:
2\cdot1^{3}+1^{2}-2\cdot1-1=2+1-2-1=0,
confere com a verificação — ótimo!

Resposta

(fg)(x)=2x^{3}+x^{2}-2x-1

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