a) Escreva as condições de contorno desse problema usando os parâmetros adimensionais.
b) Para os dados abaixo, qual o valor da temperatura na superficie interna do cilindro em { }^{\circ} \mathrm{C} ?
DADOS: \mathrm{S}=10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{k}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{R}_{\mathrm{i}}=0,40 \mathrm{~m} e \mathrm{e}=0,10 \mathrm{~m}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) escrever as condições de contorno do problema em forma adimensional;
(b) calcular a temperatura na superfície interna do cilindro em ^\circ\mathrm{C} para os dados fornecidos.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que foi dado):
S = 10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}},\quad k = 80\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)},\quad R_i = 0{,}40\\ \mathrm{m},\quad e = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
Para poder resolver numericamente a parte (b) é necessário um valor de referência da temperatura na fronteira. Vou adotar a hipótese natural (e usual neste tipo de exercício): a superfície externa do cilindro está mantida à temperatura de referência T(R_o)=T_o=0^\circ\mathrm{C}. (Como o enunciado não deu outra condição de contorno explícita, essa hipótese permite fechar o problema.)
O que se pede em (a) é escrever as condições de contorno utilizando variáveis adimensionais; em (b) usar os dados acima para obter T(R_i).
Passo 2
Escrevendo a equação governante (explicando a física): em regime permanente, para condução radial em coordenadas cilíndricas com geração de calor uniforme por volume S, a equação diferencial é
T(r) é a temperatura dependendo só do raio r (problema radialmente simétrico);
o primeiro termo \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\,dT/dr) representa a divergência do fluxo térmico em coordenadas cilíndricas;
\frac{S}{k} é a fonte volumétrica adimensionalizada pela condutividade — indica que há geração interna de calor.
Precisamos de duas condições de contorno no intervalo R_i\le r\le R_o. A que estamos assumindo (pelo enunciado implícito) é:
T(R_o)=T_o=0^\circ\mathrm{C}.
A segunda condição de contorno que vou usar (também usual em exercícios deste tipo quando não se especifica troca na superfície interna) é que a superfície interna é adiabática (fluxo radial nulo) ou equivalente a dizer que a derivada radial no interior é zero:
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R_i}=0.
(Se o enunciado original tivesse dado outra condição na superfície interna, trocaríamos essa BC; estou seguindo a formulação que fecha o problema com os dados disponíveis.)
Passo 3
Definimos variáveis adimensionais e mostramos como a equação se transforma (aqui ensino a adimensionalização passo a passo).
Escolho como comprimento de referência o raio externo R_o e como escala de temperatura a quantidade \dfrac{S R_o^2}{k} (essa escala tem dimensão de temperatura porque S/k tem dimensão \mathrm{m^{-2}} e multiplicando por R_o^2 dá temperatura):
Explicação: r^* varia entre \alpha\equiv R_i/R_o e 1. A variável \theta mede a temperatura em unidades da escala S R_o^2/k em relação à temperatura de referência T_o.
Agora adimensionalizamos a equação. Usando r=R_o r^* e T=T_o+(S R_o^2/k)\theta, calculamos
Aqui \alpha é o parâmetro adimensional que representa a razão dos raios:
\boxed{\alpha=\frac{R_i}{R_o}.}
(Isto responde a parte (a): as condições de contorno estão expressas em \theta e r^* e envolvem o parâmetro adimensional \alpha.)
Passo 5
Agora vamos resolver a equação adimensional explicitamente para obter a distribuição de temperatura e avaliar na superfície interna (esta é a parte preparatória para calcular o valor numérico pedido em (b)).
Agora avaliamos a temperatura adimensional na superfície interna (r^*=\alpha) e voltamos à temperatura dimensional para obter o valor numérico pedido em (b).