a) Escreva as condições de contorno desse problema usando os parâmetros adimensionais.
b) Para os dados abaixo, qual o valor da temperatura na superficie interna do cilindro em { }^{\circ} \mathrm{C} ?
DADOS: \mathrm{S}=10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{k}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{R}_{\mathrm{i}}=0,40 \mathrm{~m} e \mathrm{e}=0,10 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) escrever as condições de contorno do problema em forma adimensional;
(b) calcular a temperatura na superfície interna do cilindro em ^\circ\mathrm{C} para os dados fornecidos.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que foi dado):
S = 10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}},\quad k = 80\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)},\quad R_i = 0{,}40\\ \mathrm{m},\quad e = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
A partir de R_i e e obtemos o raio externo
R_o = R_i + e = 0{,}40 + 0{,}10 = 0{,}50\\ \mathrm{m}.
Para poder resolver numericamente a parte (b) é necessário um valor de referência da temperatura na fronteira. Vou adotar a hipótese natural (e usual neste tipo de exercício): a superfície externa do cilindro está mantida à temperatura de referência T(R_o)=T_o=0^\circ\mathrm{C}. (Como o enunciado não deu outra condição de contorno explícita, essa hipótese permite fechar o problema.)
O que se pede em (a) é escrever as condições de contorno utilizando variáveis adimensionais; em (b) usar os dados acima para obter T(R_i).

Passo 2

Escrevendo a equação governante (explicando a física): em regime permanente, para condução radial em coordenadas cilíndricas com geração de calor uniforme por volume S, a equação diferencial é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{S}{k}=0.
Explicação dos termos:
  • T(r) é a temperatura dependendo só do raio r (problema radialmente simétrico);
  • o primeiro termo \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\,dT/dr) representa a divergência do fluxo térmico em coordenadas cilíndricas;
  • \frac{S}{k} é a fonte volumétrica adimensionalizada pela condutividade — indica que há geração interna de calor.
Precisamos de duas condições de contorno no intervalo R_i\le r\le R_o. A que estamos assumindo (pelo enunciado implícito) é:
T(R_o)=T_o=0^\circ\mathrm{C}.
A segunda condição de contorno que vou usar (também usual em exercícios deste tipo quando não se especifica troca na superfície interna) é que a superfície interna é adiabática (fluxo radial nulo) ou equivalente a dizer que a derivada radial no interior é zero:
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R_i}=0.
(Se o enunciado original tivesse dado outra condição na superfície interna, trocaríamos essa BC; estou seguindo a formulação que fecha o problema com os dados disponíveis.)

Passo 3

Definimos variáveis adimensionais e mostramos como a equação se transforma (aqui ensino a adimensionalização passo a passo).
Escolho como comprimento de referência o raio externo R_o e como escala de temperatura a quantidade \dfrac{S R_o^2}{k} (essa escala tem dimensão de temperatura porque S/k tem dimensão \mathrm{m^{-2}} e multiplicando por R_o^2 dá temperatura):
Definições adimensionais:
r^*=\frac{r}{R_o},\qquad \theta=\frac{T-T_o}{S R_o^2/k}.
Explicação: r^* varia entre \alpha\equiv R_i/R_o e 1. A variável \theta mede a temperatura em unidades da escala S R_o^2/k em relação à temperatura de referência T_o.
Agora adimensionalizamos a equação. Usando r=R_o r^* e T=T_o+(S R_o^2/k)\theta, calculamos
\frac{dT}{dr}=\frac{S R_o}{k}\frac{d\theta}{dr^*}.
Substituindo na equação governante e simplificando (mostro a ideia):
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{S}{k}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{r^*}\frac{d}{dr^*}\!\left(r^*\frac{d\theta}{dr^*}\right)+1=0.
Portanto a forma adimensional da equação é
\boxed{\frac{1}{r^*}\frac{d}{dr^*}\!\left(r^*\frac{d\theta}{dr^*}\right)+1=0.}

Passo 4

Escrevemos agora as condições de contorno em termos adimensionais (resposta da parte a)).
Em termos adimensionais r^*=r/R_o e usando \alpha=R_i/R_o, as BCs assumidas ficam:
  • condição externa (temperatura conhecida):
\boxed{\theta(1)=0.}
  • condição interna (adiabática, fluxo nulo):
\boxed{\left.\frac{d\theta}{dr^*}\right|_{r^*=\alpha}=0.}
Aqui \alpha é o parâmetro adimensional que representa a razão dos raios:
\boxed{\alpha=\frac{R_i}{R_o}.}
(Isto responde a parte (a): as condições de contorno estão expressas em \theta e r^* e envolvem o parâmetro adimensional \alpha.)

Passo 5

Agora vamos resolver a equação adimensional explicitamente para obter a distribuição de temperatura e avaliar na superfície interna (esta é a parte preparatória para calcular o valor numérico pedido em (b)).
A equação adimensional é
\frac{1}{r^*}\frac{d}{dr^*}\!\left(r^*\frac{d\theta}{dr^*}\right) = -1.
Multiplicando por r^* e integrando uma vez:
\frac{d}{dr^*}\!\left(r^*\frac{d\theta}{dr^*}\right) = -r^* \quad\Longrightarrow\quad r^*\frac{d\theta}{dr^*} = -\frac{1}{2}r^{*2}+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Dividindo por r^* e integrando novamente:
\frac{d\theta}{dr^*} = -\frac{1}{2}r^* + \frac{C_1}{r^*} \quad\Longrightarrow\quad \theta(r^*) = -\frac{1}{4}r^{*2} + C_1\ln r^* + C_2,
com C_2 outra constante de integração.

Passo 6

Aplicamos as condições de contorno adimensionais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro, da condição adiabática na superfície interna r^*=\alpha:
\left.\frac{d\theta}{dr^*}\right|_{r^*=\alpha}= -\frac{1}{2}\alpha + \frac{C_1}{\alpha}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{1}{2}\alpha^2.
Segundo, da condição na superfície externa \theta(1)=0:
0 = \theta(1) = -\frac{1}{4}\cdot 1^2 + C_1\ln 1 + C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{1}{4},
pois \ln 1=0.
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos
\theta(r^*) = -\frac{1}{4}r^{*2} + \frac{1}{2}\alpha^2\ln r^* + \frac{1}{4}.

Passo 7

Agora avaliamos a temperatura adimensional na superfície interna ( r^*=\alpha) e voltamos à temperatura dimensional para obter o valor numérico pedido em (b).
Calculamos \theta(\alpha):
\theta(\alpha) = -\frac{1}{4}\alpha^{2} + \frac{1}{2}\alpha^{2}\ln\alpha + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(1-\alpha^{2}) + \frac{1}{2}\alpha^{2}\ln\alpha.
Recordando a definição de \theta,
\theta(\alpha)=\frac{T(R_i)-T_o}{S R_o^2/k}.
Como adotamos T_o=T(R_o)=0^\circ\mathrm{C}, temos
T(R_i)=\frac{S R_o^2}{k}\,\theta(\alpha).
Agora substituímos os dados numéricos:
R_o=0{,}50\\ \mathrm{m},\qquad \alpha=\frac{R_i}{R_o}=\frac{0{,}40}{0{,}50}=0{,}8.
Calculamos passo a passo (vou mostrar os números intermediários para você poder acompanhar sem calculadora complicada):
\alpha^2 = 0{,}8^2 = 0{,}64,
\ln\alpha=\ln(0{,}8)\approx -0{,}22314355,
\frac{1}{4}(1-\alpha^2)=\frac{1}{4}(1-0{,}64)=\frac{1}{4}\cdot 0{,}36 = 0{,}09,
\frac{1}{2}\alpha^2\ln\alpha = 0{,}5\cdot 0{,}64\cdot(-0{,}22314355)\approx -0{,}071406,
\theta(\alpha)\approx 0{,}09-0{,}071406 = 0{,}018594.
Agora a escala de temperatura:
\frac{S R_o^2}{k} = \frac{10^{5}\cdot (0{,}50)^2}{80} = \frac{10^{5}\cdot 0{,}25}{80} = \frac{25000}{80} = 312{,}5\\ \mathrm{^\circ C}.
Finalmente,
T(R_i) = 312{,}5 \times 0{,}018594 \approx 5{,}8106\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com duas casas decimais (suficiente para o exercício), obtemos T(R_i)\approx 5{,}81^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) Condições de contorno adimensionais:
\theta(1)=0,\qquad \left.\frac{d\theta}{dr^*}\right|_{r^*=\alpha}=0,\qquad \alpha=\frac{R_i}{R_o}.
(b) T(R_i)\approx 5{,}81^\circ\mathrm{C}

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