Escreva um conjunto de equações paramétricas (parametrização) para a superfície dada.
(a) O plano 7 x+3 y+4 z=15.
(b) A porção do plano 7 x+3 y+4 z=15 que está no primeiro octante.
(c) O cilindro x^{2}+y^{2}=5, \quad-1 \leq z \leq 6.
(d) A porção de y=4-x^{2}-z^{2} que está à frente de y=-6.
(e) A porção da esfera de raio 6 \operatorname{com} x \geq 0.
(f) O plano tangente à superfície dada pela equação paramétrica no ponto (8,14,2) :
\vec{r}(u, v)=\left(u^{2}+2 u\right) \vec{i}+(3 v-2 u) \vec{j}+(6 v-10) \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede que eu apresente parametrizações (equações paramétricas) para várias superfícies/porções delas. Vou listar claramente o que cada item dá e o que precisa ser entregue:
(a) O plano dado por \,7x+3y+4z=15\,. Preciso uma parametrização válida para todo o plano.
(b) A porção do mesmo plano do item (a) que está no primeiro octante. Ou seja, a parte do plano com x\ge 0,\\ y\ge 0,\\ z\ge 0. Preciso a parametrização e o domínio dos parâmetros que descrevem exatamente essa porção.
(c) O cilindro dado por \,x^{2}+y^{2}=5,\\\ -1\le z\le 6\,. Preciso uma parametrização para toda a superfície lateral do cilindro incluindo o intervalo de z.
(d) A porção da superfície \,y=4-x^{2}-z^{2}\, que está “à frente” do plano y=-6. Interpreto “à frente de y=-6” como a parte da superfície com y\ge -6. Preciso parametrizar essa porção e determinar o domínio dos parâmetros.
(e) A porção da esfera de raio 6 com a restrição x\ge 0. Ou seja, a meia-esfera com metade voltada para x\ge 0. Preciso uma parametrização conveniente (p.ex. esférica) e os intervalos dos parâmetros.
(f) O plano tangente à superfície definida pela parametrização
\vec{r}(u,v)=\big(u^{2}+2u\big)\,\vec{i}+\big(3v-2u\big)\,\vec{j}+\big(6v-10\big)\,\vec{k}
no ponto (8,14,2). Preciso encontrar a equação desse plano (mostrando como encontro os parâmetros (u,v) que geram o ponto e como obtenho a normal/tangente).

Passo 2

No geral, para parametrizar uma superfície eu preciso escolher dois parâmetros (habitualmente u e v, ou outro par), e escrever \vec{r}(u,v) tal que, ao variar u,v no domínio apropriado, a superfície seja percorrida. Dicas de técnicas que vou usar:
  • Para um plano: posso tomar duas variáveis livres (por exemplo x e y) e resolver para z, ou escolher um ponto do plano e duas direções dentro do plano.
  • Para cilindros e esferas: usar coordenadas cilíndricas ou esféricas (ângulos e raio fixo) é natural.
  • Para porções limitadas: além da parametrização, é crucial especificar o domínio dos parâmetros (intervalos ou desigualdades).
    Vou aplicar essas ideias passo a passo para cada item, explicando cada escolha.

Passo 3

(a) Parametrização do plano \,7x+3y+4z=15.
Estratégia simples e prática para provas: tomar u=x e v=y como parâmetros livres e resolver para z. Isso é permitido porque o plano pode ser visto como o gráfico de z em função de x,y (o coeficiente de z não é zero).
Resolver para z:
4z = 15-7x-3y \quad\Rightarrow\quad z=\frac{15-7x-3y}{4}.
Tomando u=x e v=y, escrevo a parametrização:
\vec{r}(u,v)=u\,\vec{i}+v\,\vec{j}+\frac{15-7u-3v}{4}\,\vec{k},
com u,v\in\mathbb{R} (ou seja, domínio todo \mathbb{R}^2, pois todo par (u,v) dá um ponto do plano).
Observação didática rápida: outra forma equivalente seria escolher um ponto particular do plano (por exemplo P_0=(15/7,0,0)) e duas direções lineares dentro do plano (vetores ortogonais ao vetor normal (7,3,4)), e então escrever \vec{r}=\vec{P_0}+s\vec{a}+t\vec{b}. A escolha x=u,\\ y=v é a mais direta do ponto de vista de cálculo.

Passo 4

(b) Porção do plano no primeiro octante: x\ge 0,\\ y\ge 0,\\ z\ge 0.
Uso a mesma parametrização do item (a):
\vec{r}(u,v)=u\,\vec{i}+v\,\vec{j}+\frac{15-7u-3v}{4}\,\vec{k}.
Agora imponho as restrições do primeiro octante:
u\ge 0,\qquad v\ge 0,\qquad z=\frac{15-7u-3v}{4}\ge 0.
A desigualdade para z
15-7u-3v\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 7u+3v\le 15.
Logo o domínio dos parâmetros (u,v) é a região triangular
\{(u,v)\mid u\ge 0,\\ v\ge 0,\\\ 7u+3v\le 15\}.
Em forma de intervalos úteis para cálculo: 0\le u\le \dfrac{15}{7} e para cada u,
0\le v\le \frac{15-7u}{3}.

Passo 5

(c) Cilindro \,x^{2}+y^{2}=5,\\\ -1\le z\le 6.
Este é um cilindro circular de raio \sqrt{5} em torno do eixo z. A parametrização natural usa o ângulo \theta para a circunferência e w para a altura (o próprio z).
Tomando \theta e z como parâmetros:
x=\sqrt{5}\cos\theta,\qquad y=\sqrt{5}\sin\theta,\qquad z=w.
Em vetor:
\vec{r}(\theta,w)=\sqrt{5}\cos\theta\,\vec{i}+\sqrt{5}\sin\theta\,\vec{j}+w\,\vec{k},
com \theta\in[0,2\pi) (ou qualquer intervalo de comprimento 2\pi que percorra a circunferência) e w\in[-1,6]. Essa descrição percorre a superfície lateral do cilindro para todas as alturas do intervalo dado.
Didática: o parâmetro angular \theta gira ao redor do eixo z, enquanto w desloca verticalmente; isso é exatamente o que o cilindro pede.

Passo 6

(d) Porção de y=4-x^{2}-z^{2} que está à frente de y=-6.
Interpretação (explicada): estar “à frente de y=-6” interpreto como pontos com y\ge -6. Então imponho
4-x^{2}-z^{2}\ge -6 \quad\Longleftrightarrow\quad -x^{2}-z^{2}\ge -10 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+z^{2}\le 10.
Portanto a porção é o “paraboloide invertido” limitada radialmente pelo disco x^{2}+z^{2}\le 10.
Parametrização conveniente: usar coordenadas polares para as variáveis x e z. Tome r e \theta:
x=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
com 0\le r\le\sqrt{10} e \theta\in[0,2\pi). Então
y=4-r^{2}.
Em vetor:
\vec{r}(r,\theta)=r\cos\theta\,\vec{i}+\big(4-r^{2}\big)\,\vec{j}+r\sin\theta\,\vec{k},
com 0\le r\le\sqrt{10},\\ \theta\in[0,2\pi). Alternativamente poderia parametrizar por x,u e z=v com x^{2}+z^{2}\le 10, mas coord. polares deixam explícito o disco.

Passo 7

(e) Porção da esfera de raio 6 com x\ge 0.
A esfera é \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=36. A parametrização esférica padrão (com raio fixo 6) é:
x=6\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=6\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=6\cos\varphi,
onde \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (do polo positivo z) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
A restrição x\ge 0 equivale a \cos\theta\ge 0, isto é \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big] (ou qualquer intervalo de comprimento \pi onde \cos\theta\ge0, por exemplo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] ou [0,\pi] não serve porque em (\pi/2,\pi) \cos\theta<0). Portanto um domínio conveniente é
\varphi\in[0,\pi],\qquad \theta\in\Big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big].
A parametrização em forma vetorial:
\vec{r}(\varphi,\theta)=6\sin\varphi\cos\theta\,\vec{i}+6\sin\varphi\sin\theta\,\vec{j}+6\cos\varphi\,\vec{k},
com \varphi\in[0,\pi],\\ \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big]. Isso descreve exatamente a metade da esfera com x\ge 0.
Observação: pode-se também tomar \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,\pi] se usar convenção onde \theta mede o ângulo a partir do eixo y, mas a forma acima é a esférica padrão com \theta medindo ângulo no plano xy desde o eixo x.

Passo 8

(f) Plano tangente à superfície parametrizada em \vec{r}(u,v)=\big(u^{2}+2u\big)\vec{i}+\big(3v-2u\big)\vec{j}+\big(6v-10\big)\vec{k} no ponto (8,14,2).
  1. Encontrar (u_0,v_0) tal que \vec{r}(u_0,v_0)=(8,14,2).
Escrevo as componentes:
x=u^{2}+2u,\qquad y=3v-2u,\qquad z=6v-10.
Da terceira componente, impondo z=2:
6v-10=2 \quad\Longrightarrow\quad 6v=12 \quad\Longrightarrow\quad v=2.
Com v=2, da segunda componente y=14:
3\cdot 2 -2u =14 \quad\Longrightarrow\quad 6-2u=14 \quad\Longrightarrow\quad -2u=8 \quad\Longrightarrow\quad u=-4.
Verifico a primeira componente com u=-4:
u^{2}+2u = (-4)^{2}+2(-4)=16-8=8,
que é x=8, consistente. (Observação: a equação quadrática u^{2}+2u=8 também teria a outra raiz u=2, mas com u=2 o y e z não satisfazem simultaneamente y=14,z=2. Portanto o par correto é (u_0,v_0)=(-4,2).)
  1. Vetores tangentes e normal: calcule \vec{r}_u e \vec{r}_v e avalie em (u_0,v_0).
Derivadas parciais:
\vec{r}_u=(2u+2)\,\vec{i}-2\,\vec{j}+0\,\vec{k},\qquad \vec{r}_v=0\,\vec{i}+3\,\vec{j}+6\,\vec{k}.
Em (u_0,v_0)=(-4,2):
\vec{r}_u(-4,2)=(-6,-2,0),\qquad \vec{r}_v(-4,2)=(0,3,6).
  1. Normal ao plano tangente: \vec{n}=\vec{r}_u\times\vec{r}_v.
Faço o produto vetorial (mostrando o cálculo):
\vec{r}_u\times\vec{r}_v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ -6 & -2 & 0 \\\\ 0 & 3 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2\cdot 6 - 0\cdot 3) - \vec{j}(-6\cdot 6 - 0\cdot 0) + \vec{k}(-6\cdot 3 - (-2)\cdot 0).
Portanto
\vec{n}=(-12,\,36,\, -18).
Posso simplificar dividindo por 6 e usar \vec{n}=(-2,6,-3) (qualquer múltiplo não-nulo do normal serve para a equação do plano).
  1. Equação cartesiana do plano tangente: use \vec{n}\cdot (\vec{r}-\vec{r}_0)=0, com \vec{r}_0=(8,14,2).
Com \vec{n}=(-2,6,-3) obtemos
-2(x-8)+6(y-14)-3(z-2)=0.
Desenvolvendo:
-2x+16+6y-84-3z+6=0 \quad\Longrightarrow\quad -2x+6y-3z-62=0.
Multiplicando por -1 para uma forma comum:
2x-6y+3z+62=0.
  1. Também posso dar a forma paramétrica do plano tangente (útil em alguns contextos):
\vec{R}(s,t)=(8,14,2)+s(-6,-2,0)+t(0,3,6),
com s,t\in\mathbb{R}. Essa é a parametrização do plano tangente usando os vetores tangentes \vec{r}_u e \vec{r}_v.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}(u,v)=u\,\vec{i}+v\,\vec{j}+\frac{15-7u-3v}{4}\,\vec{k},\quad u,v\in\mathbb{R}.
(b) \displaystyle \vec{r}(u,v)=u\,\vec{i}+v\,\vec{j}+\frac{15-7u-3v}{4}\,\vec{k},\quad 0\le u\le\frac{15}{7},\\\ 0\le v\le\frac{15-7u}{3}.
(c) \displaystyle \vec{r}(\theta,w)=\sqrt{5}\cos\theta\,\vec{i}+\sqrt{5}\sin\theta\,\vec{j}+w\,\vec{k},\quad \theta\in[0,2\pi),\\ w\in[-1,6].
(d) \displaystyle \vec{r}(r,\theta)=r\cos\theta\,\vec{i}+\big(4-r^{2}\big)\,\vec{j}+r\sin\theta\,\vec{k},\quad 0\le r\le\sqrt{10},\\ \theta\in[0,2\pi).
(e) \displaystyle \vec{r}(\varphi,\theta)=6\sin\varphi\cos\theta\,\vec{i}+6\sin\varphi\sin\theta\,\vec{j}+6\cos\varphi\,\vec{k},\quad \varphi\in[0,\pi],\\ \theta\in\Big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big].
(f) Plano tangente no ponto (8,14,2): equação cartesiana \displaystyle 2x-6y+3z+62=0. Parâmetros: \displaystyle \vec{R}(s,t)=(8,14,2)+s(-6,-2,0)+t(0,3,6).

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