Escreva um conjunto de equações paramétricas (parametrização) para a superfície dada.
(a) O plano 7 x+3 y+4 z=15.
(b) A porção do plano 7 x+3 y+4 z=15 que está no primeiro octante.
(c) O cilindro x^{2}+y^{2}=5, \quad-1 \leq z \leq 6.
(d) A porção de y=4-x^{2}-z^{2} que está à frente de y=-6.
(e) A porção da esfera de raio 6 \operatorname{com} x \geq 0.
(f) O plano tangente à superfície dada pela equação paramétrica no ponto (8,14,2) :
O enunciado pede que eu apresente parametrizações (equações paramétricas) para várias superfícies/porções delas. Vou listar claramente o que cada item dá e o que precisa ser entregue:
(a) O plano dado por \,7x+3y+4z=15\,. Preciso uma parametrização válida para todo o plano.
(b) A porção do mesmo plano do item (a) que está no primeiro octante. Ou seja, a parte do plano com x\ge 0,\\ y\ge 0,\\ z\ge 0. Preciso a parametrização e o domínio dos parâmetros que descrevem exatamente essa porção.
(c) O cilindro dado por \,x^{2}+y^{2}=5,\\\ -1\le z\le 6\,. Preciso uma parametrização para toda a superfície lateral do cilindro incluindo o intervalo de z.
(d) A porção da superfície \,y=4-x^{2}-z^{2}\, que está “à frente” do plano y=-6. Interpreto “à frente de y=-6” como a parte da superfície com y\ge -6. Preciso parametrizar essa porção e determinar o domínio dos parâmetros.
(e) A porção da esfera de raio 6 com a restrição x\ge 0. Ou seja, a meia-esfera com metade voltada para x\ge 0. Preciso uma parametrização conveniente (p.ex. esférica) e os intervalos dos parâmetros.
(f) O plano tangente à superfície definida pela parametrização
no ponto (8,14,2). Preciso encontrar a equação desse plano (mostrando como encontro os parâmetros (u,v) que geram o ponto e como obtenho a normal/tangente).
Passo 2
No geral, para parametrizar uma superfície eu preciso escolher dois parâmetros (habitualmente u e v, ou outro par), e escrever \vec{r}(u,v) tal que, ao variar u,v no domínio apropriado, a superfície seja percorrida. Dicas de técnicas que vou usar:
Para um plano: posso tomar duas variáveis livres (por exemplo x e y) e resolver para z, ou escolher um ponto do plano e duas direções dentro do plano.
Para cilindros e esferas: usar coordenadas cilíndricas ou esféricas (ângulos e raio fixo) é natural.
Para porções limitadas: além da parametrização, é crucial especificar o domínio dos parâmetros (intervalos ou desigualdades).
Vou aplicar essas ideias passo a passo para cada item, explicando cada escolha.
Passo 3
(a) Parametrização do plano \,7x+3y+4z=15.
Estratégia simples e prática para provas: tomar u=x e v=y como parâmetros livres e resolver para z. Isso é permitido porque o plano pode ser visto como o gráfico de z em função de x,y (o coeficiente de z não é zero).
com u,v\in\mathbb{R} (ou seja, domínio todo \mathbb{R}^2, pois todo par (u,v) dá um ponto do plano).
Observação didática rápida: outra forma equivalente seria escolher um ponto particular do plano (por exemplo P_0=(15/7,0,0)) e duas direções lineares dentro do plano (vetores ortogonais ao vetor normal (7,3,4)), e então escrever \vec{r}=\vec{P_0}+s\vec{a}+t\vec{b}. A escolha x=u,\\ y=v é a mais direta do ponto de vista de cálculo.
Passo 4
(b) Porção do plano no primeiro octante: x\ge 0,\\ y\ge 0,\\ z\ge 0.
Logo o domínio dos parâmetros (u,v) é a região triangular
\{(u,v)\mid u\ge 0,\\ v\ge 0,\\\ 7u+3v\le 15\}.
Em forma de intervalos úteis para cálculo: 0\le u\le \dfrac{15}{7} e para cada u,
0\le v\le \frac{15-7u}{3}.
Passo 5
(c) Cilindro \,x^{2}+y^{2}=5,\\\ -1\le z\le 6.
Este é um cilindro circular de raio \sqrt{5} em torno do eixo z. A parametrização natural usa o ângulo \theta para a circunferência e w para a altura (o próprio z).
com \theta\in[0,2\pi) (ou qualquer intervalo de comprimento 2\pi que percorra a circunferência) e w\in[-1,6]. Essa descrição percorre a superfície lateral do cilindro para todas as alturas do intervalo dado.
Didática: o parâmetro angular \theta gira ao redor do eixo z, enquanto w desloca verticalmente; isso é exatamente o que o cilindro pede.
Passo 6
(d) Porção de y=4-x^{2}-z^{2} que está à frente de y=-6.
Interpretação (explicada): estar “à frente de y=-6” interpreto como pontos com y\ge -6. Então imponho
com 0\le r\le\sqrt{10},\\ \theta\in[0,2\pi). Alternativamente poderia parametrizar por x,u e z=v com x^{2}+z^{2}\le 10, mas coord. polares deixam explícito o disco.
Passo 7
(e) Porção da esfera de raio 6 com x\ge 0.
A esfera é \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=36. A parametrização esférica padrão (com raio fixo 6) é:
onde \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (do polo positivo z) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
A restrição x\ge 0 equivale a \cos\theta\ge 0, isto é \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big] (ou qualquer intervalo de comprimento \pi onde \cos\theta\ge0, por exemplo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] ou [0,\pi] não serve porque em (\pi/2,\pi)\cos\theta<0). Portanto um domínio conveniente é
com \varphi\in[0,\pi],\\ \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big]. Isso descreve exatamente a metade da esfera com x\ge 0.
Observação: pode-se também tomar \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,\pi] se usar convenção onde \theta mede o ângulo a partir do eixo y, mas a forma acima é a esférica padrão com \theta medindo ângulo no plano xy desde o eixo x.
Passo 8
(f) Plano tangente à superfície parametrizada em \vec{r}(u,v)=\big(u^{2}+2u\big)\vec{i}+\big(3v-2u\big)\vec{j}+\big(6v-10\big)\vec{k} no ponto (8,14,2).
Encontrar (u_0,v_0) tal que \vec{r}(u_0,v_0)=(8,14,2).
que é x=8, consistente. (Observação: a equação quadrática u^{2}+2u=8 também teria a outra raiz u=2, mas com u=2 o y e z não satisfazem simultaneamente y=14,z=2. Portanto o par correto é (u_0,v_0)=(-4,2).)
Vetores tangentes e normal: calcule \vec{r}_u e \vec{r}_v e avalie em (u_0,v_0).
(f) Plano tangente no ponto (8,14,2): equação cartesiana \displaystyle 2x-6y+3z+62=0. Parâmetros: \displaystyle \vec{R}(s,t)=(8,14,2)+s(-6,-2,0)+t(0,3,6).