Encontre as equações paramétricas (parametrização) do plano tangente à superfície dada por \varphi(u, v)= \left(u^{2}+2 v\right) \vec{i}+(3 v-2 u) \vec{j}+(6 v-10) \vec{k} no ponto (8,14,2).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
A superfície é dada pela parametrização \varphi(u,v)=\big(u^{2}+2v\big)\vec{i}+\big(3v-2u\big)\vec{j}+\big(6v-10\big)\vec{k}.
O enunciado pede as equações paramétricas do plano tangente à superfície no ponto \,(8,14,2).
Informação extra que temos (veja que todos estes são dados do enunciado): as componentes da imagem de \varphi são
Primeiro passo lógico: verificar se o ponto \,(8,14,2) pertence à superfície. Para isso procuramos valores (u_0,v_0) tais que
u_0^{2}+2v_0=8,
3v_0-2u_0=14,
6v_0-10=2.
Passo 3
Resolver a última equação para v_0:
6v_0-10=2
6v_0=12
v_0=2.
Agora usar v_0=2 na segunda equação para achar u_0:
3\cdot 2 - 2u_0 = 14
6 - 2u_0 = 14
-2u_0 = 8
u_0 = -4.
Passo 4
Verificar a primeira equação com (u_0,v_0)=(-4,2):
u_0^{2}+2v_0 = (-4)^{2} + 2\cdot 2 = 16 + 4 = 20.
Comparando com o valor pedido 8, vemos que
u_0^{2}+2v_0 = 20 \neq 8.
Portanto não existe (u_0,v_0) que satisfaça simultaneamente as três equações; em outras palavras o ponto \,(8,14,2) não pertence à superfície parametrizada por \varphi.
Passo 5
Conclusão direta do passo anterior: não faz sentido falar em "plano tangente à superfície no ponto \,(8,14,2)" porque o plano tangente a uma superfície é definido em pontos da própria superfície. Como \,(8,14,2) não está na imagem de \varphi, não existe plano tangente da superfície nesse ponto.
Respira fundo — isso é um tipo comum de erro de enunciado (ou de leitura). Agora eu te explico didaticamente como se faz quando o ponto pertence à superfície, porque é isso que vão pedir na prova muitas vezes.
Passo 6
Método geral (aula rápida e concreta): se um ponto \varphi(u_0,v_0) pertence à superfície, então duas curvas na superfície obtidas variando apenas uma das variáveis são tangentes à superfície no ponto. Essas curvas são
são dois vetores tangentes no ponto. O plano tangente é o plano afim que passa por \varphi(u_0,v_0) e é gerado (como soma de vetores) por esses dois vetores tangentes. Uma parametrização padrão do plano tangente é
onde \varphi_u e \varphi_v são as derivadas parciais de \varphi e s,t\in\mathbb{R} são parâmetros do plano.
Explicando cada peça:
\varphi(u_0,v_0) é o ponto do plano (origem do plano afim).
\varphi_u(u_0,v_0) é o vetor tangente obtido ao variar u mantendo v fixo.
\varphi_v(u_0,v_0) é o vetor tangente obtido ao variar v mantendo u fixo.
s,t são escalares que percorrem o plano na combinação linear desses vetores.
Passo 7
Calcular as derivadas parciais para a nossa \varphi (forma simbólica):
\varphi(u,v)=\big(u^{2}+2v,\;3v-2u,\;6v-10\big).
Derivando componente a componente:
\varphi_u(u,v)=\big(2u,\;-2,\;0\big),
\varphi_v(u,v)=\big(2,\;3,\;6\big).
Esses são vetores genéricos; para obter o plano tangente em um ponto real da superfície substituiríamos (u_0,v_0) nessas expressões.
Passo 8
Observação útil e exemplo (útil para a prova): quando tentamos encaixar o ponto (8,14,2) encontramos que o par (u_0,v_0)=(-4,2) resolve as componentes y e z mas leva \varphi(-4,2)=(20,14,2). Ou seja, o ponto real da superfície com as mesmas coordenadas y e z é \varphi(-4,2)=(20,14,2). Se quiseres ver como fica o plano tangente naquele ponto da superfície (um exemplo prático), avaliamos as parciais em (u_0,v_0)=(-4,2):