Encontre as equações paramétricas (parametrização) do plano tangente à superfície dada por \varphi(u, v)= \left(u^{2}+2 v\right) \vec{i}+(3 v-2 u) \vec{j}+(6 v-10) \vec{k} no ponto (8,14,2).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A superfície é dada pela parametrização \varphi(u,v)=\big(u^{2}+2v\big)\vec{i}+\big(3v-2u\big)\vec{j}+\big(6v-10\big)\vec{k}.
  • O enunciado pede as equações paramétricas do plano tangente à superfície no ponto \,(8,14,2).
  • Informação extra que temos (veja que todos estes são dados do enunciado): as componentes da imagem de \varphi são
x(u,v)=u^{2}+2v,\qquad y(u,v)=3v-2u,\qquad z(u,v)=6v-10.

Passo 2

Primeiro passo lógico: verificar se o ponto \,(8,14,2) pertence à superfície. Para isso procuramos valores (u_0,v_0) tais que
u_0^{2}+2v_0=8,
3v_0-2u_0=14,
6v_0-10=2.

Passo 3

Resolver a última equação para v_0:
6v_0-10=2
6v_0=12
v_0=2.
Agora usar v_0=2 na segunda equação para achar u_0:
3\cdot 2 - 2u_0 = 14
6 - 2u_0 = 14
-2u_0 = 8
u_0 = -4.

Passo 4

Verificar a primeira equação com (u_0,v_0)=(-4,2):
u_0^{2}+2v_0 = (-4)^{2} + 2\cdot 2 = 16 + 4 = 20.
Comparando com o valor pedido 8, vemos que
u_0^{2}+2v_0 = 20 \neq 8.
Portanto não existe (u_0,v_0) que satisfaça simultaneamente as três equações; em outras palavras o ponto \,(8,14,2) não pertence à superfície parametrizada por \varphi.

Passo 5

Conclusão direta do passo anterior: não faz sentido falar em "plano tangente à superfície no ponto \,(8,14,2)" porque o plano tangente a uma superfície é definido em pontos da própria superfície. Como \,(8,14,2) não está na imagem de \varphi, não existe plano tangente da superfície nesse ponto.
Respira fundo — isso é um tipo comum de erro de enunciado (ou de leitura). Agora eu te explico didaticamente como se faz quando o ponto pertence à superfície, porque é isso que vão pedir na prova muitas vezes.

Passo 6

Método geral (aula rápida e concreta): se um ponto \varphi(u_0,v_0) pertence à superfície, então duas curvas na superfície obtidas variando apenas uma das variáveis são tangentes à superfície no ponto. Essas curvas são
\gamma_1(t)=\varphi(u_0+t,v_0),\qquad \gamma_2(t)=\varphi(u_0,v_0+t).
As derivadas em t=0,
\frac{d\gamma_1}{dt}\Big|_{t=0}=\frac{\partial\varphi}{\partial u}(u_0,v_0), \qquad \frac{d\gamma_2}{dt}\Big|_{t=0}=\frac{\partial\varphi}{\partial v}(u_0,v_0),
são dois vetores tangentes no ponto. O plano tangente é o plano afim que passa por \varphi(u_0,v_0) e é gerado (como soma de vetores) por esses dois vetores tangentes. Uma parametrização padrão do plano tangente é
\mathbf{r}(s,t)=\varphi(u_0,v_0)+s\,\varphi_u(u_0,v_0)+t\,\varphi_v(u_0,v_0),
onde \varphi_u e \varphi_v são as derivadas parciais de \varphi e s,t\in\mathbb{R} são parâmetros do plano.
Explicando cada peça:
  • \varphi(u_0,v_0) é o ponto do plano (origem do plano afim).
  • \varphi_u(u_0,v_0) é o vetor tangente obtido ao variar u mantendo v fixo.
  • \varphi_v(u_0,v_0) é o vetor tangente obtido ao variar v mantendo u fixo.
  • s,t são escalares que percorrem o plano na combinação linear desses vetores.

Passo 7

Calcular as derivadas parciais para a nossa \varphi (forma simbólica):
\varphi(u,v)=\big(u^{2}+2v,\;3v-2u,\;6v-10\big).
Derivando componente a componente:
\varphi_u(u,v)=\big(2u,\;-2,\;0\big),
\varphi_v(u,v)=\big(2,\;3,\;6\big).
Esses são vetores genéricos; para obter o plano tangente em um ponto real da superfície substituiríamos (u_0,v_0) nessas expressões.

Passo 8

Observação útil e exemplo (útil para a prova): quando tentamos encaixar o ponto (8,14,2) encontramos que o par (u_0,v_0)=(-4,2) resolve as componentes y e z mas leva \varphi(-4,2)=(20,14,2). Ou seja, o ponto real da superfície com as mesmas coordenadas y e z é \varphi(-4,2)=(20,14,2). Se quiseres ver como fica o plano tangente naquele ponto da superfície (um exemplo prático), avaliamos as parciais em (u_0,v_0)=(-4,2):
Avaliar \varphi_u e \varphi_v em (-4,2):
\varphi_u(-4,2)=\big(2\cdot(-4),\;-2,\;0\big)=\big(-8,\,-2,\;0\big),
\varphi_v(-4,2)=\big(2,\;3,\;6\big).
Então uma parametrização do plano tangente à superfície no ponto \varphi(-4,2)=(20,14,2) é
\mathbf{r}(s,t)=(20,14,2)+s\big(-8,-2,0\big)+t\big(2,3,6\big).
Em componentes paramétricas:
x(s,t)=20-8s+2t,
y(s,t)=14-2s+3t,
z(s,t)=2+0\cdot s+6t=2+6t.
Isto é um exemplo concreto de como apresentar as equações paramétricas do plano tangente quando o ponto pertence à superfície.

Resposta

O ponto \,(8,14,2) não pertence à superfície parametrizada por \varphi; portanto não existe plano tangente da superfície nesse ponto.

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