Escreva em coordenada esféricas os seguintes vetores no espaço
a. Posição Vetorial
b. Velocidade Vetorial
c. Aceleração Vetorial
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos
a. Posição Vetorial
b. Velocidade Vetorial
c. Aceleração Vetorial
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva, em coordenadas esféricas, os seguintes vetores no espaço e faça os desenvolvimentos matemáticos:
- a. Vetor posição;
- b. Vetor velocidade;
- c. Vetor aceleração.
Informações e convenções que vou usar (essas são as informações dadas implicitamente pelo enunciado):
- As coordenadas esféricas dependem do tempo:
, , . - Adoto a convenção usual da física/geométrica:
é o ângulo polar (colatitude), ou seja o ângulo entre o vetor posição e o eixo (varia de a ); é o ângulo azimutal no plano (varia de a ). - Vou expressar vetores usando a base ortonormal dependente da posição
, explicando o significado e mostrando como derivar as fórmulas pedidas.
Passo 2
Definições e relações básicas entre coordenadas esféricas e componentes cartesianas.
As componentes cartesianas de um ponto dado por
são
As três direções unitárias (expressas em componentes cartesianas) são
Interpretação rápida (sem resolução):
aponta radialmente para fora,
aponta no sentido de aumento de
(descendo do polo norte para o equador) e
aponta no sentido de aumento de
(no plano
, azimute).
Passo 3
Vetor posição em coordenadas esféricas (desenvolvimento).
O vetor posição em termos das componentes cartesianas é
Substituindo
em função de
e comparando com
obtemos diretamente a forma simples
Explicação: a magnitude radial é
e a direção é
, por isso o vetor posição é
vezes o vetor unitário radial.
Passo 4
Derivadas dos vetores de base (essas derivadas são essenciais para obter velocidade e aceleração).
Usando dependência funcional e regra da cadeia pode-se mostrar (ou calcular componente a componente) as derivadas temporais dos vetores de base. É útil primeiro expressar as derivadas parciais:
Aplicando a regra da cadeia
obtemos as derivadas temporais:
Aqui
,
,
.
Passo 5
Velocidade vetorial: derivação passo a passo.
Começo com
. Aplicando derivada temporal:
Substituo a expressão de
encontrada no passo anterior:
Portanto, escrevendo de forma clara:
Interpretação didática rápida: há três contribuições
-
: variação radial; -
: movimento polar (mudança de ) com “braço” ; -
: movimento azimutal no círculo de raio (projeção no plano ).
Passo 6
Aceleração vetorial: derivação passo a passo detalhada.
Parto de
. Derivo termo a termo, usando produto e as derivadas de
.
- Derivada do primeiro termo:
Substituindo
:
- Derivada do segundo termo:
Substituindo
:
Reorganizando:
- Derivada do terceiro termo (atenção: produto de três fatores
, e ):
Calculo o escalar:
E substituo
:
Assim:
- Somando todas as contribuições (1)+(2)+(3) e agrupando os coeficientes de
:
Coeficiente de
:
Logo parte radial:
Coeficiente de
:
Somando:
Coeficiente de
:
Somando e reorganizando:
Portanto, a aceleração completa é
Passo 7
Verificação rápida por casos limites (ajuda a memorizar):
- Se o movimento for puramente radial (
constantes, ) então
o que faz sentido físico.
- Se
constante e (movimento no plano com fixo) então as fórmulas reduzem às conhecidas expressões de movimento circular com raio .