Escreva em coordenada esféricas os seguintes vetores no espaço
a. Posição Vetorial
b. Velocidade Vetorial
c. Aceleração Vetorial
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva, em coordenadas esféricas, os seguintes vetores no espaço e faça os desenvolvimentos matemáticos:
  • a. Vetor posição;
  • b. Vetor velocidade;
  • c. Vetor aceleração.
Informações e convenções que vou usar (essas são as informações dadas implicitamente pelo enunciado):
  • As coordenadas esféricas dependem do tempo: r=r(t), \theta=\theta(t), \varphi=\varphi(t).
  • Adoto a convenção usual da física/geométrica: \theta é o ângulo polar (colatitude), ou seja o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (varia de 0 a \pi); \varphi é o ângulo azimutal no plano xy (varia de 0 a 2\pi).
  • Vou expressar vetores usando a base ortonormal dependente da posição \{\hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi\}, explicando o significado e mostrando como derivar as fórmulas pedidas.

Passo 2

Definições e relações básicas entre coordenadas esféricas e componentes cartesianas.
As componentes cartesianas de um ponto dado por (r,\theta,\varphi) são
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
As três direções unitárias (expressas em componentes cartesianas) são
\hat{e}_r = (\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta),
\hat{e}_\theta = (\cos\theta\cos\varphi,\;\cos\theta\sin\varphi,\;-\,\sin\theta),
\hat{e}_\varphi = (-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0).
Interpretação rápida (sem resolução): \hat{e}_r aponta radialmente para fora, \hat{e}_\theta aponta no sentido de aumento de \theta (descendo do polo norte para o equador) e \hat{e}_\varphi aponta no sentido de aumento de \varphi (no plano xy, azimute).

Passo 3

Vetor posição em coordenadas esféricas (desenvolvimento).
O vetor posição em termos das componentes cartesianas é
\vec{r} = x\,\hat{i} + y\,\hat{j} + z\,\hat{k}.
Substituindo x,y,z em função de (r,\theta,\varphi) e comparando com \hat{e}_r obtemos diretamente a forma simples
\vec{r} = r\,\hat{e}_r.
Explicação: a magnitude radial é r e a direção é \hat{e}_r, por isso o vetor posição é r vezes o vetor unitário radial.

Passo 4

Derivadas dos vetores de base (essas derivadas são essenciais para obter velocidade e aceleração).
Usando dependência funcional e regra da cadeia pode-se mostrar (ou calcular componente a componente) as derivadas temporais dos vetores de base. É útil primeiro expressar as derivadas parciais:
\frac{\partial \hat{e}_r}{\partial \theta}=\hat{e}_\theta,\qquad \frac{\partial \hat{e}_r}{\partial \varphi}=\sin\theta\,\hat{e}_\varphi,
\frac{\partial \hat{e}_\theta}{\partial \theta}=-\hat{e}_r,\qquad \frac{\partial \hat{e}_\theta}{\partial \varphi}=\cos\theta\,\hat{e}_\varphi,
\frac{\partial \hat{e}_\varphi}{\partial \theta}=0,\qquad \frac{\partial \hat{e}_\varphi}{\partial \varphi}=-\sin\theta\,\hat{e}_r-\cos\theta\,\hat{e}_\theta.
Aplicando a regra da cadeia \dot{\hat{e}}_i=\frac{\partial\hat{e}_i}{\partial\theta}\dot\theta+\frac{\partial\hat{e}_i}{\partial\varphi}\dot\varphi obtemos as derivadas temporais:
\dot{\hat{e}}_r = \dot\theta\,\hat{e}_\theta + \dot\varphi\,\sin\theta\,\hat{e}_\varphi,
\dot{\hat{e}}_\theta = -\dot\theta\,\hat{e}_r + \dot\varphi\,\cos\theta\,\hat{e}_\varphi,
\dot{\hat{e}}_\varphi = -\dot\varphi\big(\sin\theta\,\hat{e}_r + \cos\theta\,\hat{e}_\theta\big).
Aqui \dot r=\dfrac{dr}{dt}, \dot\theta=\dfrac{d\theta}{dt}, \dot\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}.

Passo 5

Velocidade vetorial: derivação passo a passo.
Começo com \vec{r}=r\hat{e}_r. Aplicando derivada temporal:
\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot r\,\hat{e}_r + r\,\dot{\hat{e}}_r.
Substituo a expressão de \dot{\hat{e}}_r encontrada no passo anterior:
\vec{v}=\dot r\,\hat{e}_r + r\big(\dot\theta\,\hat{e}_\theta + \dot\varphi\,\sin\theta\,\hat{e}_\varphi\big).
Portanto, escrevendo de forma clara:
\vec{v}=\dot r\,\hat{e}_r + r\,\dot\theta\,\hat{e}_\theta + r\,\dot\varphi\,\sin\theta\,\hat{e}_\varphi.
Interpretação didática rápida: há três contribuições
  • \dot r\,\hat{e}_r: variação radial;
  • r\dot\theta\,\hat{e}_\theta: movimento polar (mudança de \theta) com “braço” r;
  • r\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi: movimento azimutal no círculo de raio r\sin\theta (projeção no plano xy).

Passo 6

Aceleração vetorial: derivação passo a passo detalhada.
Parto de \vec{v}=\dot r\,\hat{e}_r + r\dot\theta\,\hat{e}_\theta + r\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi. Derivo termo a termo, usando produto e as derivadas de \hat{e}_i.
  1. Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dt}\big(\dot r\,\hat{e}_r\big)=\ddot r\,\hat{e}_r+\dot r\,\dot{\hat{e}}_r.
Substituindo \dot{\hat{e}}_r:
\frac{d}{dt}\big(\dot r\,\hat{e}_r\big)=\ddot r\,\hat{e}_r+\dot r\big(\dot\theta\,\hat{e}_\theta+\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi\big).
  1. Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dt}\big(r\dot\theta\,\hat{e}_\theta\big)=\big(\dot r\dot\theta + r\ddot\theta\big)\hat{e}_\theta + r\dot\theta\,\dot{\hat{e}}_\theta.
Substituindo \dot{\hat{e}}_\theta:
\frac{d}{dt}\big(r\dot\theta\,\hat{e}_\theta\big)=\big(\dot r\dot\theta + r\ddot\theta\big)\hat{e}_\theta + r\dot\theta\big(-\dot\theta\,\hat{e}_r + \dot\varphi\cos\theta\,\hat{e}_\varphi\big).
Reorganizando:
\frac{d}{dt}\big(r\dot\theta\,\hat{e}_\theta\big) = -r\dot\theta^{2}\,\hat{e}_r + \big(\dot r\dot\theta + r\ddot\theta\big)\hat{e}_\theta + r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta\,\hat{e}_\varphi.
  1. Derivada do terceiro termo (atenção: produto de três fatores r, \sin\theta e \dot\varphi):
\frac{d}{dt}\big(r\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi\big) = \frac{d}{dt}\big(r\dot\varphi\sin\theta\big)\hat{e}_\varphi + r\dot\varphi\sin\theta\,\dot{\hat{e}}_\varphi.
Calculo o escalar:
\frac{d}{dt}\big(r\dot\varphi\sin\theta\big)=\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi + r\sin\theta\,\ddot\varphi.
E substituo \dot{\hat{e}}_\varphi = -\dot\varphi(\sin\theta\,\hat{e}_r+\cos\theta\,\hat{e}_\theta):
r\dot\varphi\sin\theta\,\dot{\hat{e}}_\varphi = -r\dot\varphi^{2}\sin^{2}\theta\,\hat{e}_r - r\dot\varphi^{2}\sin\theta\cos\theta\,\hat{e}_\theta.
Assim:
\frac{d}{dt}\big(r\dot\varphi\sin\theta\,\hat{e}_\varphi\big) = \big(\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi + r\sin\theta\,\ddot\varphi\big)\hat{e}_\varphi - r\dot\varphi^{2}\sin^{2}\theta\,\hat{e}_r - r\dot\varphi^{2}\sin\theta\cos\theta\,\hat{e}_\theta.
  1. Somando todas as contribuições (1)+(2)+(3) e agrupando os coeficientes de \hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi:
Coeficiente de \hat{e}_r:
\ddot r \quad\text{(de 1)}\quad - r\dot\theta^{2}\quad\text{(de 2)}\quad - r\dot\varphi^{2}\sin^{2}\theta\quad\text{(de 3)}.
Logo parte radial:
\big(\ddot r - r\dot\theta^{2} - r\dot\varphi^{2}\sin^{2}\theta\big)\hat{e}_r.
Coeficiente de \hat{e}_\theta:
\dot r\dot\theta \quad\text{(de 1)}\quad + \big(\dot r\dot\theta + r\ddot\theta\big)\quad\text{(de 2)}\quad - r\dot\varphi^{2}\sin\theta\cos\theta\quad\text{(de 3)}.
Somando:
\big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\dot\varphi^{2}\sin\theta\cos\theta\big)\hat{e}_\theta.
Coeficiente de \hat{e}_\varphi:
\dot r\dot\varphi\sin\theta \quad\text{(de 1)}\quad + r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta \quad\text{(de 2)}\quad + \big(\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi + r\sin\theta\,\ddot\varphi\big)\quad\text{(de 3)}.
Somando e reorganizando:
\big(r\sin\theta\,\ddot\varphi + 2\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + 2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta\big)\hat{e}_\varphi.
Portanto, a aceleração completa é
\vec{a} = \big(\ddot r - r\dot\theta^{2} - r\dot\varphi^{2}\sin^{2}\theta\big)\hat{e}_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\dot\varphi^{2}\sin\theta\cos\theta\big)\hat{e}_\theta + \big(r\sin\theta\,\ddot\varphi + 2\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + 2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta\big)\hat{e}_\varphi.

Passo 7

Verificação rápida por casos limites (ajuda a memorizar):
  • Se o movimento for puramente radial ( \theta,\varphi constantes, \dot\theta=\dot\varphi=0) então
\vec{v}=\dot r\,\hat{e}_r,\qquad \vec{a}=\ddot r\,\hat{e}_r,
o que faz sentido físico.
  • Se r constante e \theta=\pi/2 (movimento no plano xy com \theta fixo) então as fórmulas reduzem às conhecidas expressões de movimento circular com raio r.

Resposta

\vec{r} = r\,\hat{e}_r
\vec{v} = \dot r\,\hat{e}_r + r\,\dot\theta\,\hat{e}_\theta + r\,\dot\varphi\,\sin\theta\,\hat{e}_\varphi
\vec{a} = \big(\ddot r - r\dot\theta^{2} - r\dot\varphi^{2}\sin^{2}\theta\big)\hat{e}_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\dot\varphi^{2}\sin\theta\cos\theta\big)\hat{e}_\theta + \big(r\sin\theta\,\ddot\varphi + 2\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + 2r\dot\theta\dot\varphi\cos\theta\big)\hat{e}_\varphi

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