Escreva em coordenada polares os seguintes vetores no plano:
a) Posição Vetorial
b) Velocidade Vetorial
c) Aceleração Vetorial
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos

Passo 1

O que o exercício pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede expressar, em coordenadas polares no plano, os seguintes vetores:
    a) posição vetorial;
    b) velocidade vetorial;
    c) aceleração vetorial.
  • Não foram dados r(t) ou \theta(t) específicos, então vamos derivar fórmulas gerais válidas para qualquer movimento planar descrito por r=r(t) e \theta=\theta(t).
  • Informações relevantes que usaremos:
    • A posição em coordenadas polares é dada pelos parâmetros r (distância ao centro) e \theta (ângulo polar).
    • Precisamos introduzir os vetores unitários polares \hat{e}_r e \hat{e}_\theta e calcular suas derivadas temporais, porque eles dependem de \theta(t).

Passo 2

Definição das coordenadas polares e dos vetores unitários (com explicação).
  • Em coordenadas cartesianas usamos os vetores unitários fixos \hat{i} e \hat{j}.
  • Em coordenadas polares definimos os vetores unitários dependendo do ângulo \theta: \hat{e}_r = \cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}
\hat{e}_\theta = -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}
  • Significado:
    • \hat{e}_r aponta radialmente para fora (direção crescente de r).
    • \hat{e}_\theta é ortogonal a \hat{e}_r, aponta na direção de aumento de \theta (tangencial).
  • Observação importante: \hat{e}_r e \hat{e}_\theta dependem de \theta, então quando \theta=\theta(t) eles variam no tempo.

Passo 3

Derivadas temporais dos vetores unitários (cálculo passo a passo).
  • Diferenciando \hat{e}_r em relação ao tempo usando regra da cadeia (lembre: \theta=\theta(t)): \frac{d}{dt}\hat{e}_r = \frac{d}{dt}(\cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j})
= (-\sin\theta\,\dot{\theta})\,\hat{i} + (\cos\theta\,\dot{\theta})\,\hat{j}
Agrupando termos reconhecemos a combinação que é exatamente \dot{\theta}\,\hat{e}_\theta, portanto:
\frac{d}{dt}\hat{e}_r = \dot{\theta}\,\hat{e}_\theta.
  • Diferenciando \hat{e}_\theta: \frac{d}{dt}\hat{e}_\theta = \frac{d}{dt}(-\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j})
= (-\cos\theta\,\dot{\theta})\,\hat{i} + (-\sin\theta\,\dot{\theta})\,\hat{j}
Agrupando damos:
\frac{d}{dt}\hat{e}_\theta = -\dot{\theta}\,\hat{e}_r.
  • Resumo útil que usaremos: \frac{d}{dt}\hat{e}_r = \dot{\theta}\,\hat{e}_\theta,\qquad \frac{d}{dt}\hat{e}_\theta = -\dot{\theta}\,\hat{e}_r.
  • Interpretação rápida: quando o sistema gira ( \dot{\theta}\neq0), os vetores unitários giram e suas derivadas trocam de papel com sinal.

Passo 4

Posição vetorial em coordenadas polares (fórmula e explicação).
  • A posição de um ponto no plano, em coordenadas polares, é simplesmente o vetor que tem módulo r na direção \hat{e}_r.
  • Logo a posição vetorial \vec{r} é: \vec{r} = r\,\hat{e}_r.
  • Explicando: r é a distância do ponto à origem e \hat{e}_r a direção radial; multiplicando obtém-se o vetor posição.

Passo 5

Velocidade vetorial: derivação explícita usando produto e derivadas dos unitários.
  • A velocidade é a derivada temporal da posição: \vec{v} = \frac{d}{dt}\vec{r} = \frac{d}{dt}(r\,\hat{e}_r).
  • Aplicando a regra do produto: \vec{v} = \dot{r}\,\hat{e}_r + r\,\frac{d}{dt}\hat{e}_r.
  • Substituindo a derivada de \hat{e}_r obtida no Passo 3: \vec{v} = \dot{r}\,\hat{e}_r + r\,(\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta).
  • Portanto a forma final da velocidade é: \vec{v} = \dot{r}\,\hat{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta.
  • Interpretação didática:
    • O termo \dot{r}\,\hat{e}_r é a componente radial da velocidade (mudança da distância ao centro).
    • O termo r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta é a componente tangencial (devida à variação angular); o produto r\dot{\theta} é a velocidade linear tangencial.

Passo 6

Aceleração vetorial: primeira escrita e aplicação da regra do produto (esqueleto do cálculo).
  • A aceleração é a derivada da velocidade: \vec{a} = \frac{d}{dt}\vec{v} = \frac{d}{dt}\big(\dot{r}\,\hat{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta\big).
  • Vamos derivar termo a termo, aplicando regra do produto e usando as derivadas de \hat{e}_r e \hat{e}_\theta.

Passo 7

Derivação completa da aceleração (cálculo detalhado passo a passo).
  • Derivando o primeiro termo \dot{r}\,\hat{e}_r: \frac{d}{dt}(\dot{r}\,\hat{e}_r) = \ddot{r}\,\hat{e}_r + \dot{r}\,\frac{d}{dt}\hat{e}_r
= \ddot{r}\,\hat{e}_r + \dot{r}\,(\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta).
  • Derivando o segundo termo r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta (é um produto triplo; trato como produto de r\dot{\theta} por \hat{e}_\theta): \frac{d}{dt}(r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta) = \frac{d}{dt}(r\dot{\theta})\,\hat{e}_\theta + r\dot{\theta}\,\frac{d}{dt}\hat{e}_\theta.
  • Calculando \frac{d}{dt}(r\dot{\theta}) por regra do produto: \frac{d}{dt}(r\dot{\theta}) = \dot{r}\,\dot{\theta} + r\,\ddot{\theta}.
  • Substituindo e usando \frac{d}{dt}\hat{e}_\theta = -\dot{\theta}\,\hat{e}_r: \frac{d}{dt}(r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta) = (\dot{r}\,\dot{\theta} + r\,\ddot{\theta})\,\hat{e}_\theta + r\dot{\theta}\,(-\dot{\theta}\,\hat{e}_r).
= (\dot{r}\,\dot{\theta} + r\,\ddot{\theta})\,\hat{e}_\theta - r\,\dot{\theta}^2\,\hat{e}_r.
  • Somando as derivações dos dois termos: \vec{a} = \big(\ddot{r}\,\hat{e}_r + \dot{r}\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta\big) + \big((\dot{r}\,\dot{\theta} + r\,\ddot{\theta})\,\hat{e}_\theta - r\,\dot{\theta}^2\,\hat{e}_r\big).
  • Agrupando componentes em \hat{e}_r e \hat{e}_\theta: \vec{a} = (\ddot{r} - r\,\dot{\theta}^2)\,\hat{e}_r + (r\,\ddot{\theta} + 2\dot{r}\,\dot{\theta})\,\hat{e}_\theta.

Passo 8

Interpretação física e exemplos simples (para fixar a intuição).
  • Interpretação dos termos na aceleração:
    • Componente radial (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\,\hat{e}_r:
      • \ddot{r}\,\hat{e}_r é a aceleração radial devido à variação da velocidade radial.
      • -r\dot{\theta}^2\,\hat{e}_r é a aceleração centrípeta (direção para o centro) associada ao movimento angular.
    • Componente tangencial (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\,\hat{e}_\theta:
      • r\ddot{\theta}\,\hat{e}_\theta é a aceleração tangencial devido à variação da velocidade angular.
      • 2\dot{r}\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta é o termo de correlação radial–angular (muitas vezes chamado termo de Coriolis no contexto de coordenadas polares); aparece porque mudança de r altera a componente tangencial.
  • Exemplos rápidos:
    • Movimento puramente radial ( \theta=\text{const}\Rightarrow\dot{\theta}=0): \vec{v}=\dot{r}\,\hat{e}_r,\qquad \vec{a}=\ddot{r}\,\hat{e}_r.
    • Movimento circular de raio constante ( r=R constante \Rightarrow \dot{r}=0,\ddot{r}=0): \vec{v}=R\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta,\qquad \vec{a}=-R\dot{\theta}^2\,\hat{e}_r + R\ddot{\theta}\,\hat{e}_\theta.
      • Se for movimento circular uniforme ( \dot{\theta}=\omega constante, \ddot{\theta}=0): \vec{a}=-R\omega^2\,\hat{e}_rque é a aceleração centrípeta apontando para o centro.

Passo 9

Resumo final — fórmulas que você precisa decorar para usar na prova (formato direto).
  • As três fórmulas principais, derivadas acima e prontas para uso, são as seguintes.

Resposta

(a) \vec{r} = r\,\hat{e}_r
(b) \vec{v} = \dot{r}\,\hat{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta
(c) \vec{a} = (\ddot{r} - r\,\dot{\theta}^2)\,\hat{e}_r + (r\,\ddot{\theta} + 2\dot{r}\,\dot{\theta})\,\hat{e}_\theta

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