Escreva em coordenada polares os seguintes vetores no plano:
a) Posição Vetorial
b) Velocidade Vetorial
c) Aceleração Vetorial
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos
a) Posição Vetorial
b) Velocidade Vetorial
c) Aceleração Vetorial
Passo 1
O que o exercício pede e quais informações temos.
- O enunciado pede expressar, em coordenadas polares no plano, os seguintes vetores:
a) posição vetorial;
b) velocidade vetorial;
c) aceleração vetorial. - Não foram dados
ou específicos, então vamos derivar fórmulas gerais válidas para qualquer movimento planar descrito por e . - Informações relevantes que usaremos:
- A posição em coordenadas polares é dada pelos parâmetros
(distância ao centro) e (ângulo polar). - Precisamos introduzir os vetores unitários polares
e e calcular suas derivadas temporais, porque eles dependem de .
- A posição em coordenadas polares é dada pelos parâmetros
Passo 2
Definição das coordenadas polares e dos vetores unitários (com explicação).
- Em coordenadas cartesianas usamos os vetores unitários fixos
e . - Em coordenadas polares definimos os vetores unitários dependendo do ângulo
:
- Significado:
-
aponta radialmente para fora (direção crescente de ). -
é ortogonal a , aponta na direção de aumento de (tangencial).
-
- Observação importante:
e dependem de , então quando eles variam no tempo.
Passo 3
Derivadas temporais dos vetores unitários (cálculo passo a passo).
- Diferenciando
em relação ao tempo usando regra da cadeia (lembre: ):
Agrupando termos reconhecemos a combinação que é exatamente
, portanto:
- Diferenciando
:
Agrupando damos:
- Resumo útil que usaremos:
- Interpretação rápida: quando o sistema gira (
), os vetores unitários giram e suas derivadas trocam de papel com sinal.
Passo 4
Posição vetorial em coordenadas polares (fórmula e explicação).
- A posição de um ponto no plano, em coordenadas polares, é simplesmente o vetor que tem módulo
na direção . - Logo a posição vetorial
é: - Explicando:
é a distância do ponto à origem e a direção radial; multiplicando obtém-se o vetor posição.
Passo 5
Velocidade vetorial: derivação explícita usando produto e derivadas dos unitários.
- A velocidade é a derivada temporal da posição:
- Aplicando a regra do produto:
- Substituindo a derivada de
obtida no Passo 3: - Portanto a forma final da velocidade é:
- Interpretação didática:
- O termo
é a componente radial da velocidade (mudança da distância ao centro). - O termo
é a componente tangencial (devida à variação angular); o produto é a velocidade linear tangencial.
- O termo
Passo 6
Aceleração vetorial: primeira escrita e aplicação da regra do produto (esqueleto do cálculo).
- A aceleração é a derivada da velocidade:
- Vamos derivar termo a termo, aplicando regra do produto e usando as derivadas de
e .
Passo 7
Derivação completa da aceleração (cálculo detalhado passo a passo).
- Derivando o primeiro termo
:
- Derivando o segundo termo
(é um produto triplo; trato como produto de por ): - Calculando
por regra do produto: - Substituindo e usando
:
- Somando as derivações dos dois termos:
- Agrupando componentes em
e :
Passo 8
Interpretação física e exemplos simples (para fixar a intuição).
- Interpretação dos termos na aceleração:
- Componente radial
: -
é a aceleração radial devido à variação da velocidade radial. -
é a aceleração centrípeta (direção para o centro) associada ao movimento angular.
-
- Componente tangencial
: -
é a aceleração tangencial devido à variação da velocidade angular. -
é o termo de correlação radial–angular (muitas vezes chamado termo de Coriolis no contexto de coordenadas polares); aparece porque mudança de altera a componente tangencial.
-
- Componente radial
- Exemplos rápidos:
- Movimento puramente radial (
): - Movimento circular de raio constante (
constante ): - Se for movimento circular uniforme (
constante, ): que é a aceleração centrípeta apontando para o centro.
- Se for movimento circular uniforme (
- Movimento puramente radial (
Passo 9
Resumo final — fórmulas que você precisa decorar para usar na prova (formato direto).
- As três fórmulas principais, derivadas acima e prontas para uso, são as seguintes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)