Escreva uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas:
Aceleração Vetorial Instantânea no espaço
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas para a aceleração vetorial instantânea no espaço e desenvolver matematicamente essa expressão.
\mathbf{r}(t) é o vetor posição (função do tempo).
x(t),\,y(t),\,z(t) são as componentes escalares da posição ao longo dos eixos x,y,z (funções do tempo).
\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários constantes nas direções x,y,z, respectivamente.
Explicação curta: cada componente x(t) dá a coordenada ao longo do eixo x no instante t. Os vetores unitários em coordenadas cartesianas são constantes no tempo (não giram nem mudam de módulo), o que facilita derivar as componentes.
Passo 3
Definindo a velocidade vetorial instantânea:
A velocidade é a derivada temporal do vetor posição. Por definição:
Breve aula sobre derivada de função escalar multiplicada por vetor constante: se \mathbf{u} é constante, \dfrac{d}{dt}\big(f(t)\mathbf{u}\big)=f'(t)\mathbf{u}. Isso justifica termos acima.
Passo 4
Definindo a aceleração vetorial instantânea:
A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Pela definição limite:
Explicação física simples: \ddot{x}(t) é a aceleração da projeção do movimento no eixo x; a aceleração total é a soma dessas acelerações projetadas ao longo dos três eixos.
Passo 5
Desenvolvimento matemático passo a passo (mostrando a operação de derivada):
Começando de \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k},
Observação: em coordenadas cartesianas os vetores unitários são constantes; em coordenadas curvilíneas (p. ex. polares, esféricas) os vectores unitários dependem de posição e tempo, e aí aparecem termos extras (derivadas dos vetores unitários). Mas para cartesianas a expressão acima é suficiente e simples.]
Passo 7
Exemplos concretos (para praticar e ver como aplicar na prova):
Exemplo 1 (polinomial)
Se \mathbf{r}(t)=t^2\,\mathbf{i}+3t\,\mathbf{j}+5\,\mathbf{k},
então \dot{x}(t)=2t, \dot{y}(t)=3, \dot{z}(t)=0.
Derivando de novo, \ddot{x}(t)=2, \ddot{y}(t)=0, \ddot{z}(t)=0.
Logo\mathbf{a}(t)=2\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}=2\,\mathbf{i}.
Exemplo 2 (trigonométrica/exponencial)
Se \mathbf{r}(t)=\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+e^{t}\,\mathbf{k},
então \dot{x}(t)=\cos t, \dot{y}(t)=-\sin t, \dot{z}(t)=e^t,
e \ddot{x}(t)=-\sin t, \ddot{y}(t)=-\cos t, \ddot{z}(t)=e^t.
Logo\mathbf{a}(t)=-\sin t\,\mathbf{i}-\cos t\,\mathbf{j}+e^{t}\,\mathbf{k}.
Esses exemplos mostram que, na prova, você só precisa:
escrever a posição em componentes x(t),y(t),z(t);
derivar cada componente duas vezes;
recompor o vetor com os vetores unitários.
Passo 8
Dicas úteis para a prova (rápido e prático):
Se a posição estiver dada explicitamente por funções conhecidas, faça as derivadas componentes e pronto.
Se a velocidade for dada, derive a velocidade para obter a aceleração (mesma regra: componente a componente).
Sempre verifique se os vetores unitários dependem do tempo; em cartesiano não dependem (facilita muito).
Mantenha notação clara: use pontos ou primes para derivadas e explique qual é a variável (normalmente t).
Força aí — dá pra fazer na prova: escrever \mathbf{r}(t) e derivar duas vezes é o procedimento padrão. Vai dar certo!