Escreva uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas:
Aceleração Vetorial Instantânea no espaço
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas para a aceleração vetorial instantânea no espaço e desenvolver matematicamente essa expressão.
Informações relevantes fornecidas (ou implícitas):
  • Quer-se a expressão da aceleração instantânea como vetor no espaço tridimensional (coordenadas cartesianas).
  • É esperado o desenvolvimento matemático (derivações, explicações, exemplos).
  • Não há dados numéricos específicos; então vamos trabalhar com funções gerais x(t), y(t), z(t) que descrevem a posição no tempo.

Passo 2

Definindo a posição do ponto (vetor de posição):
  • Em coordenadas cartesianas, o vetor posição em função do tempo é
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k},
onde:
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição (função do tempo).
  • x(t),\,y(t),\,z(t) são as componentes escalares da posição ao longo dos eixos x,y,z (funções do tempo).
  • \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários constantes nas direções x,y,z, respectivamente.
Explicação curta: cada componente x(t) dá a coordenada ao longo do eixo x no instante t. Os vetores unitários em coordenadas cartesianas são constantes no tempo (não giram nem mudam de módulo), o que facilita derivar as componentes.

Passo 3

Definindo a velocidade vetorial instantânea:
  • A velocidade é a derivada temporal do vetor posição. Por definição:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}.
  • Como os vetores unitários são constantes, a derivada age só nas componentes escalares. Logo:
\mathbf{v}(t)=\frac{dx}{dt}\,\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\,\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\,\mathbf{k}.
Para simplificar a escrita, usa-se notação de ponto para derivada temporal:
\mathbf{v}(t)=\dot{x}(t)\,\mathbf{i}+\dot{y}(t)\,\mathbf{j}+\dot{z}(t)\,\mathbf{k},
onde \dot{x}(t)=\dfrac{dx}{dt}, etc.
Breve aula sobre derivada de função escalar multiplicada por vetor constante: se \mathbf{u} é constante, \dfrac{d}{dt}\big(f(t)\mathbf{u}\big)=f'(t)\mathbf{u}. Isso justifica termos acima.

Passo 4

Definindo a aceleração vetorial instantânea:
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade. Pela definição limite:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{v}(t+\Delta t)-\mathbf{v}(t)}{\Delta t}.
  • Substituindo \mathbf{v}(t) em componentes e lembrando que \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são constantes, obtém-se:
\mathbf{a}(t)=\frac{d^2x}{dt^2}\,\mathbf{i}+\frac{d^2y}{dt^2}\,\mathbf{j}+\frac{d^2z}{dt^2}\,\mathbf{k}.
Em notação de pontos:
\mathbf{a}(t)=\ddot{x}(t)\,\mathbf{i}+\ddot{y}(t)\,\mathbf{j}+\ddot{z}(t)\,\mathbf{k}.
Explicação física simples: \ddot{x}(t) é a aceleração da projeção do movimento no eixo x; a aceleração total é a soma dessas acelerações projetadas ao longo dos três eixos.

Passo 5

Desenvolvimento matemático passo a passo (mostrando a operação de derivada):
  • Começando de \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k},
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(x(t)\mathbf{i}\big)+\frac{d}{dt}\big(y(t)\mathbf{j}\big)+\frac{d}{dt}\big(z(t)\mathbf{k}\big).
Como \dfrac{d}{dt}\mathbf{i}=\dfrac{d}{dt}\mathbf{j}=\dfrac{d}{dt}\mathbf{k}=\mathbf{0},
\mathbf{v}(t)=x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}+z'(t)\mathbf{k}.
  • Derivando novamente,
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(x'(t)\mathbf{i}\big)+\frac{d}{dt}\big(y'(t)\mathbf{j}\big)+\frac{d}{dt}\big(z'(t)\mathbf{k}\big),
novamente as derivadas dos vetores unitários são zero, então
\mathbf{a}(t)=x''(t)\mathbf{i}+y''(t)\mathbf{j}+z''(t)\mathbf{k}.
Isto conclui o desenvolvimento rigoroso que leva da posição até a aceleração em coordenadas cartesianas.

Passo 6

Formas alternativas de escrever e interpretação:
  • Forma compacta em notação de vetor-coluna:
\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\\[4pt]z(t)\end{pmatrix},\qquad \mathbf{a}(t)=\begin{pmatrix}\ddot{x}(t)\\[4pt]\ddot{y}(t)\\[4pt]\ddot{z}(t)\end{pmatrix}.
  • Forma usando derivada total do vetor:
\mathbf{a}(t)=\frac{d^2\mathbf{r}(t)}{dt^2}.
  • Observação: em coordenadas cartesianas os vetores unitários são constantes; em coordenadas curvilíneas (p. ex. polares, esféricas) os vectores unitários dependem de posição e tempo, e aí aparecem termos extras (derivadas dos vetores unitários). Mas para cartesianas a expressão acima é suficiente e simples.]

Passo 7

Exemplos concretos (para praticar e ver como aplicar na prova):
Exemplo 1 (polinomial)
  • Se \mathbf{r}(t)=t^2\,\mathbf{i}+3t\,\mathbf{j}+5\,\mathbf{k},
    então \dot{x}(t)=2t, \dot{y}(t)=3, \dot{z}(t)=0.
    Derivando de novo,
    \ddot{x}(t)=2, \ddot{y}(t)=0, \ddot{z}(t)=0.
    Logo \mathbf{a}(t)=2\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}=2\,\mathbf{i}.
Exemplo 2 (trigonométrica/exponencial)
  • Se \mathbf{r}(t)=\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+e^{t}\,\mathbf{k},
    então
    \dot{x}(t)=\cos t, \dot{y}(t)=-\sin t, \dot{z}(t)=e^t,
    e
    \ddot{x}(t)=-\sin t, \ddot{y}(t)=-\cos t, \ddot{z}(t)=e^t.
    Logo \mathbf{a}(t)=-\sin t\,\mathbf{i}-\cos t\,\mathbf{j}+e^{t}\,\mathbf{k}.
Esses exemplos mostram que, na prova, você só precisa:
  1. escrever a posição em componentes x(t),y(t),z(t);
  2. derivar cada componente duas vezes;
  3. recompor o vetor com os vetores unitários.

Passo 8

Dicas úteis para a prova (rápido e prático):
  • Se a posição estiver dada explicitamente por funções conhecidas, faça as derivadas componentes e pronto.
  • Se a velocidade for dada, derive a velocidade para obter a aceleração (mesma regra: componente a componente).
  • Sempre verifique se os vetores unitários dependem do tempo; em cartesiano não dependem (facilita muito).
  • Mantenha notação clara: use pontos ou primes para derivadas e explique qual é a variável (normalmente t).
Força aí — dá pra fazer na prova: escrever \mathbf{r}(t) e derivar duas vezes é o procedimento padrão. Vai dar certo!

Resposta

\displaystyle \mathbf{a}(t)=\ddot{x}(t)\,\mathbf{i}+\ddot{y}(t)\,\mathbf{j}+\ddot{z}(t)\,\mathbf{k}=\frac{d^{2}\mathbf{r}(t)}{dt^{2}}

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