Escreva a definição da antiderivada da uma função num intervalo, e o seu resultado mais importante.
Encontre
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Encontre
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Primeiro, precisamos escrever a definição de antiderivada de uma função em um intervalo e mencionar seu resultado mais importante. Depois, temos que encontrar a função
sabendo que sua derivada é
e que
.
Isso envolve Cálculo Diferencial e Integral, especificamente o conceito de antiderivada e integração. Para resolver, vamos precisar usar integrais indefinidas e aplicar as condições iniciais para determinar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma antiderivada. Uma antiderivada de uma função
em um intervalo é uma função
cuja derivada é
, ou seja:
O resultado mais importante relativo às antiderivadas é o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga as antiderivadas às integrais definidas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
sabendo que sua derivada é
. Para isso, precisamos integrar
:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial fornecida no exercício:
.
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A função
é: