Escreva a definição da antiderivada da uma função num intervalo, e o seu resultado mais importante.
Encontre f.
f^prime(t)=2 t-sin t, f(0)=5.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Primeiro, precisamos escrever a definição de antiderivada de uma função em um intervalo e mencionar seu resultado mais importante. Depois, temos que encontrar a função sabendo que sua derivada é e que .
Isso envolve Cálculo Diferencial e Integral, especificamente o conceito de antiderivada e integração. Para resolver, vamos precisar usar integrais indefinidas e aplicar as condições iniciais para determinar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma antiderivada. Uma antiderivada de uma função G^prime(t) = g(t) em um intervalo é uma função cuja derivada é , ou seja:
O resultado mais importante relativo às antiderivadas é o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga as antiderivadas às integrais definidas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função f(t) = integral f^prime(t) , dt = integral (2t - sin t) , dt sabendo que sua derivada é . Para isso, precisamos integrar :

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2t , dt = 2 cdot t^22 = t^2
integral -sin t , dt = cos t
Portanto:
f(t) = t^2 + cos t + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar o valor de 5 = 0^2 + cos(0) + C , usamos a condição inicial fornecida no exercício: 5 = 0 + 1 + C Rightarrow C = 4 .
Substituindo na expressão de :

Resposta

A função f(t) = t^2 + cos t + 4 é:

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