Estude as convergências das sequências (an) :
1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ldots(2 n-1)n!cdot 2^n

Passo 1

O enunciado dá a sequência an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)n!,2^n. O conteúdo envolve limites de sequências, manipulação de fatorial e teste da razão. Vamos precisar reescrever o produto de ímpares em termos de fatoriais, simplificar para uma forma conhecida (coeficiente binomial) e então estudar comportamento assintótico.

Passo 2

A teoria de fatorial nos diz que o produto dos ímpares até 2n-1 pode ser escrito como
prodk=1^n(2k-1)=(2n)!2^n,n!
Substituindo essa expressão em an obtemos
an=(2n)!2^n,n!n!,2^n;=;(2n)!n!,n!,2^2n;=;14^nbinom2nn

Passo 3

Para verificar se (an) é decrescente e positiva, aplicamos o teste da razão:
an+1an=14^n+1binom2n+2n+114^nbinom2nn=14;(2n+2)(2n+1)(n+1)^2=(2n+2)(2n+1)4(n+1)^2
E para n>=1 nota-se que
(2n+2)(2n+1)4(n+1)^2<1,
então an+1. Como an>0 e decrescente, ela é limitada inferiormente por 0.

Passo 4

Para achar o limite usamos a estimativa de Stirling para coeficientes binomiais ou o fato conhecido
binom2nnsim4^nraizpi n(ntoinfty)
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an=14^nbinom2nnsim14^ncdot4^nraizpi n=1raizpi nto0

Resposta

A sequência é positiva, decrescente, limitada e converge para 0.

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