Escreva a definição do coeficiente angular de uma reta tangente.
Passo 1
O enunciado pede: “Escreva a definição do coeficiente angular de uma reta tangente.”
Informações e hipóteses que vamos considerar (implícitas na definição):
Informações e hipóteses que vamos considerar (implícitas na definição):
- Existe uma função real
definida em um intervalo que contém um ponto . - Quer-se a reta tangente à curva
no ponto . - Para que a reta tangente tenha um coeficiente angular finito, assumimos que
é diferenciável em (ou seja, o limite que define a derivada existe).
Passo 2
Começando pelo que é mais simples de visualizar: a inclinação de uma linha que passa por dois pontos.
Seja a secante determinada por e
. O coeficiente angular (inclinação) dessa secante é a razão de “subida sobre corrida”:
Seja a secante determinada por
Aqui,
representa o pequeno deslocamento horizontal: se
o segundo ponto está à direita de
; se
está à esquerda. Essa razão mede a variação média de
entre
e
.
Passo 3
A reta tangente é obtida ao “colocar” o segundo ponto cada vez mais próximo do primeiro (ou seja,
). Formalmente, definimos a derivada de
em
como o limite da razão das diferenças quando
tende a zero:
desde que esse limite exista (é finito). Esse limite representa a inclinação que as secantes aproximam quando os dois pontos se aproximam.
Passo 4
Agora a ligação direta com a reta tangente: o coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto
é exatamente o número
(quando
existe e é finito). Ou seja, a derivada fornece a inclinação instantânea da curva naquele ponto.
Passo 5
Fórmula da reta tangente em termos desse coeficiente angular: a equação da reta tangente no ponto
pode ser escrita em forma ponto-inclinação:
Nessa fórmula,
é a ordenada do ponto de tangência,
é o coeficiente angular (inclinação) e
é a variável independente. Se
não existir (por exemplo, em um cusp ou descontinuidade), então não há coeficiente angular finito para uma reta tangente; se o limite diverge para
, pode existir uma tangente vertical.
Passo 6
Exemplo concreto (para fixar): seja
e
. Calcula-se
Fazendo
obtemos
. Logo o coeficiente angular da reta tangente em
é
, e a reta tangente é
Passo 7
Resumo didático e intuitivo: o coeficiente angular da reta tangente é a inclinação que as secantes da curva tendem a ter quando os dois pontos usados para formar a secante se aproximam ao ponto de tangência; esse valor é a derivada no ponto. Se a derivada existe e é finita, ela é o número que descreve quão “íngreme” a curva está naquele ponto.
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto
é o número
quando esse limite existe e é finito; a reta tangente então tem equação
.