Escreva a definição do coeficiente angular de uma reta tangente.

Passo 1

O enunciado pede: “Escreva a definição do coeficiente angular de uma reta tangente.”
Informações e hipóteses que vamos considerar (implícitas na definição):
  • Existe uma função real f definida em um intervalo que contém um ponto a.
  • Quer-se a reta tangente à curva y=f(x) no ponto (a,f(a)).
  • Para que a reta tangente tenha um coeficiente angular finito, assumimos que f é diferenciável em a (ou seja, o limite que define a derivada existe).

Passo 2

Começando pelo que é mais simples de visualizar: a inclinação de uma linha que passa por dois pontos.
Seja a secante determinada por (a,f(a)) e (a+h,f(a+h)). O coeficiente angular (inclinação) dessa secante é a razão de “subida sobre corrida”:
\text{slope da secante}=\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui, h representa o pequeno deslocamento horizontal: se h>0 o segundo ponto está à direita de a; se h<0 está à esquerda. Essa razão mede a variação média de f entre a e a+h.

Passo 3

A reta tangente é obtida ao “colocar” o segundo ponto cada vez mais próximo do primeiro (ou seja, h\to0). Formalmente, definimos a derivada de f em a como o limite da razão das diferenças quando h tende a zero:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
desde que esse limite exista (é finito). Esse limite representa a inclinação que as secantes aproximam quando os dois pontos se aproximam.

Passo 4

Agora a ligação direta com a reta tangente: o coeficiente angular da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (a,f(a)) é exatamente o número f'(a) (quando f'(a) existe e é finito). Ou seja, a derivada fornece a inclinação instantânea da curva naquele ponto.

Passo 5

Fórmula da reta tangente em termos desse coeficiente angular: a equação da reta tangente no ponto (a,f(a)) pode ser escrita em forma ponto-inclinação:
y=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Nessa fórmula, f(a) é a ordenada do ponto de tangência, f'(a) é o coeficiente angular (inclinação) e x é a variável independente. Se f'(a) não existir (por exemplo, em um cusp ou descontinuidade), então não há coeficiente angular finito para uma reta tangente; se o limite diverge para \pm\infty, pode existir uma tangente vertical.

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar): seja f(x)=x^2 e a=1. Calcula-se
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^2-1}{h}=\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h.
Fazendo h\to0 obtemos f'(1)=2. Logo o coeficiente angular da reta tangente em (1,1) é 2, e a reta tangente é
y=1+2(x-1).

Passo 7

Resumo didático e intuitivo: o coeficiente angular da reta tangente é a inclinação que as secantes da curva tendem a ter quando os dois pontos usados para formar a secante se aproximam ao ponto de tangência; esse valor é a derivada no ponto. Se a derivada existe e é finita, ela é o número que descreve quão “íngreme” a curva está naquele ponto.

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (a,f(a)) é o número
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
quando esse limite existe e é finito; a reta tangente então tem equação y=f(a)+f'(a)(x-a).

Exercícios relacionados