Escreva a definição de continuidade e os três passos necessários para verificar quando uma função é contínua em um ponto específico.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Escrever a definição de continuidade de uma função em um ponto.
- Listar os três passos práticos necessários para verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Informações dadas:
- Nenhuma função ou ponto específico foi fornecido; é um pedido conceitual e prático.
Passo 2
Definição formal (epsilon–delta) e interpretação intuitiva.
Definição formal:
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que
Explicação das partes:
-
representa “quão perto” queremos que fique de . -
é a distância em ao redor de que garante essa proximidade. - A condição diz: se
estiver suficientemente perto de (por menos de ), então estará tão perto de quanto quisermos (menor que ).
Versão mais usada na prática (equivalente):
é contínua em
se e somente se
Interpretação prática: o limite de
quando
se aproxima de
existe e coincide com o valor da função no ponto.
Passo 3
Os três passos práticos e como checá-los (checklist detalhado que dá para aplicar na prova):
Passo 1 — Verificar que
está definida.
- Ou seja, calcular
e ver se o valor existe (não ser do tipo “divergente” ou “não definido”). - Se
não existir, a função não é contínua em .
Passo 2 — Verificar que
existe (limite finito).
- Calcular
e . O limite existe se e somente se as duas limites laterais existirem e forem iguais. - Técnicas rápidas para calcular o limite:
- Se
é polinomial ou soma/produto/razão (com denominador não nulo) de polinômios, tentar substituição direta: por continuidade conhecida dessas funções. - Se der forma indeterminada
, tentar fatorar e cancelar, racionalizar, ou usar limites básicos (não use L’Hôpital a menos que já seja permitido na prova). - Para funções definidas por partes, calcule os limites laterais usando a expressão correspondente em cada lado.
- Se alguma das laterais divergir para
ou não existir, então o limite não existe (logo descontinuidade).
- Se
Passo 3 — Comparar limite com o valor: confirmar que
.
- Se os passos 1 e 2 forem verdadeiros, apenas compare os números. Se forem iguais, a função é contínua em
. - Se o limite existir mas for diferente de
, há uma descontinuidade removível (buraco): pode-se consertar definindo igual ao valor do limite. - Se as laterais existirem mas forem diferentes, há uma descontinuidade do tipo salto.
- Se alguma lateral divergir, há descontinuidade infinita.
Dicas rápidas para prova:
- Para pontos interiores do domínio de funções “comuns” (polinômios, exponencial, seno, cosseno, log natural em seu domínio, soma/produto/composição dessas), a continuidade costuma ser imediata por teoremas: basta avaliar por substituição. Diga isso e cite a substituição.
- Para funções racionais, verifique se o denominador zera em
. Se não zero → contínua; se zera → investigar limite (possível buraco ou assíntota). - Para funções por partes, concentre-se apenas nos pontos onde a definição muda: verifique as duas expressões e compare limites laterais e o valor no ponto.
Passo 4
Exemplos curtos (para fixar):
Exemplo A (polinomial): [f(x)=x^2) em
.
- Passo 1:
existe. - Passo 2:
(substituição). - Passo 3:
→ contínua em .
Exemplo B (buraco):
em
.
- Passo 1:
não está definida (denominador zero) → não é contínua. - Observação: simplificando
para , . Como não existe, é descontinuidade removível.
Exemplo C (peça):
.
- Passo 1:
. - Passo 2:
e → limite existe e vale . - Passo 3: limite
igual a → contínua em .
Resposta
Definição:
é contínua em
se
. Equivalente (epsilon–delta):
tal que
.
Três passos para verificar continuidade em
:
- Verificar que
está definida. - Verificar que
existe (ou seja, e é finito). - Verificar que
.