Escreva a definição de continuidade e os três passos necessários para verificar quando uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escrever a definição de continuidade de uma função em um ponto.
  • Listar os três passos práticos necessários para verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Informações dadas:
  • Nenhuma função ou ponto específico foi fornecido; é um pedido conceitual e prático.

Passo 2

Definição formal (epsilon–delta) e interpretação intuitiva.
Definição formal: f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
\forall x,\quad 0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Explicação das partes:
  • \varepsilon>0 representa “quão perto” queremos que f(x) fique de f(a).
  • \delta>0 é a distância em x ao redor de a que garante essa proximidade.
  • A condição diz: se x estiver suficientemente perto de a (por menos de \delta), então f(x) estará tão perto de f(a) quanto quisermos (menor que \varepsilon).
Versão mais usada na prática (equivalente): f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Interpretação prática: o limite de f(x) quando x se aproxima de a existe e coincide com o valor da função no ponto.

Passo 3

Os três passos práticos e como checá-los (checklist detalhado que dá para aplicar na prova):
Passo 1 — Verificar que f(a) está definida.
  • Ou seja, calcular f(a) e ver se o valor existe (não ser do tipo “divergente” ou “não definido”).
  • Se f(a) não existir, a função não é contínua em a.
Passo 2 — Verificar que \lim_{x\to a} f(x) existe (limite finito).
  • Calcular \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x). O limite \lim_{x\to a} f(x) existe se e somente se as duas limites laterais existirem e forem iguais.
  • Técnicas rápidas para calcular o limite:
    • Se f é polinomial ou soma/produto/razão (com denominador não nulo) de polinômios, tentar substituição direta: \lim_{x\to a} f(x)=f(a) por continuidade conhecida dessas funções.
    • Se der forma indeterminada \tfrac{0}{0}, tentar fatorar e cancelar, racionalizar, ou usar limites básicos (não use L’Hôpital a menos que já seja permitido na prova).
    • Para funções definidas por partes, calcule os limites laterais usando a expressão correspondente em cada lado.
    • Se alguma das laterais divergir para \pm\infty ou não existir, então o limite não existe (logo descontinuidade).
Passo 3 — Comparar limite com o valor: confirmar que \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Se os passos 1 e 2 forem verdadeiros, apenas compare os números. Se forem iguais, a função é contínua em a.
  • Se o limite existir mas for diferente de f(a), há uma descontinuidade removível (buraco): pode-se consertar definindo f(a) igual ao valor do limite.
  • Se as laterais existirem mas forem diferentes, há uma descontinuidade do tipo salto.
  • Se alguma lateral divergir, há descontinuidade infinita.
Dicas rápidas para prova:
  • Para pontos interiores do domínio de funções “comuns” (polinômios, exponencial, seno, cosseno, log natural em seu domínio, soma/produto/composição dessas), a continuidade costuma ser imediata por teoremas: basta avaliar por substituição. Diga isso e cite a substituição.
  • Para funções racionais, verifique se o denominador zera em a. Se não zero → contínua; se zera → investigar limite (possível buraco ou assíntota).
  • Para funções por partes, concentre-se apenas nos pontos onde a definição muda: verifique as duas expressões e compare limites laterais e o valor no ponto.

Passo 4

Exemplos curtos (para fixar):
Exemplo A (polinomial): [f(x)=x^2) em a=2.
  • Passo 1: f(2)=4 existe.
  • Passo 2: \lim_{x\to2} x^2 = 4 (substituição).
  • Passo 3: 4=4 → contínua em 2.
Exemplo B (buraco): f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} em a=1.
  • Passo 1: f(1) não está definida (denominador zero) → não é contínua.
  • Observação: simplificando \dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1 para x\neq1, \lim_{x\to1} f(x)=2. Como f(1) não existe, é descontinuidade removível.
Exemplo C (peça): f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le1\\\ 2x-1,&x>1\end{cases}\] em \(a=1.
  • Passo 1: f(1)=1.
  • Passo 2: \lim_{x\to1^-} x^2 =1 e \lim_{x\to1^+} (2x-1)=1 → limite existe e vale 1.
  • Passo 3: limite 1 igual a f(1)=1 → contínua em 1.

Resposta

Definição: f é contínua em a se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Equivalente (epsilon–delta): \forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Três passos para verificar continuidade em a:
  1. Verificar que f(a) está definida.
  2. Verificar que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe (ou seja, \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x) e é finito).
  3. Verificar que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).

Exercícios relacionados