Inverta a ordem de integração:
\int_{0}^{3 a}\left[\int_{\frac{\sqrt{3}}{3} x}^{\sqrt{4 a x-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x, \quad(a>0)

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{3a}\left[\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}x}^{\sqrt{4ax-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right]dx,\qquad (a>0).
O que se pede: inverter a ordem de integração, isto é, escrever uma integral da forma
\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\left[\int_{x_{\min}(y)}^{x_{\max}(y)} f(x,y)\,dx\right]dy,
determinando explicitamente y_{\min},\,y_{\max} e as funções x_{\min}(y),\,x_{\max}(y).
Informações relevantes fornecidas:
  • x varia de 0 até 3a.
  • Para cada x fixo, y varia entre a reta y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x (limite inferior) e a curva y=\sqrt{4ax-x^{2}} (limite superior).
  • a>0.

Passo 2

Descrever geometricamente a região R no plano xy dada pelos limites:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3a,\\ \tfrac{\sqrt{3}}{3}x\le y\le \sqrt{4ax-x^{2}}\}.
Explicação das curvas:
  • A reta y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x é uma reta através da origem com coeficiente angular \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
  • A curva y=\sqrt{4ax-x^{2}} corresponde à semicircunferência positiva da equação
y^{2}=4ax-x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad (x-2a)^{2}+y^{2}=4a^{2},
ou seja, é a semicircunferência superior de centro (2a,0) e raio 2a.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para localizar bem a região. Igualando:
\left(\frac{\sqrt{3}}{3}x\right)^{2}=4ax-x^{2}.
Calcular:
\frac{1}{3}x^{2}=4ax-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{3}x^{2}-4ax=0.
Multiplicando por 3:
4x^{2}-12ax=0\quad\Longrightarrow\quad 4x(x-3a)=0.
Logo x=0 ou x=3a. Substituindo em y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x obtemos os pontos de interseção (0,0) e (3a,\sqrt{3}\,a).

Passo 4

Determinar o intervalo de variação de y na região R. Observando as interseções, y vai desde y_{\min}=0 (no ponto (0,0)) até y_{\max}=\sqrt{3}\,a (no ponto (3a,\sqrt{3}\,a)). Portanto
0\le y\le \sqrt{3}\,a.

Passo 5

Para um y fixo em [0,\sqrt{3}a], encontrar as restrições em x que definem R. As duas desigualdades originais
\frac{\sqrt{3}}{3}x\le y \quad\text{e}\quad y\le \sqrt{4ax-x^{2}}
devem ser satisfeitas simultaneamente.
Da primeira desigualdade:
\frac{\sqrt{3}}{3}x\le y \quad\Longrightarrow\quad x\le \frac{3}{\sqrt{3}}y=\sqrt{3}\,y.
Da segunda desigualdade (quadrática em x):
y^{2}\le 4ax-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-4ax+y^{2}\le 0,
que significa que x está entre as raízes da equação quadrática x^{2}-4ax+y^{2}=0. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x= \frac{4a\pm\sqrt{(4a)^{2}-4y^{2}}}{2}=2a\pm\sqrt{4a^{2}-y^{2}}.
Portanto, pela segunda desigualdade temos
2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\le x\le 2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}.

Passo 6

Interseção das condições em x: precisamos dos x que satisfaçam simultaneamente
2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\le x\le 2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}} \quad\text{e}\quad x\le \sqrt{3}\,y,
além de 0\le x\le 3a. Como 2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\ge 2a\ge \sqrt{3}\,y para y\in[0,\sqrt{3}a] (verificação: nas extremidades há igualdade e os termos são contínuos, e pode-se mostrar que \sqrt{3}y\le 2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}} sempre), o limite superior relevante é x_{\max}(y)=\sqrt{3}\,y. O limite inferior relevante é a raiz esquerda da quadrática, isto é
x_{\min}(y)=2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}.
Também é fácil verificar que 2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\ge 0 para todo y\in[0,\sqrt{3}a], então o intervalo em x fica bem definido. Assim, para cada y\in[0,\sqrt{3}a] temos
2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\le x\le \sqrt{3}\,y.

Passo 7

Conclusão: a integral com a ordem invertida é
\int_{0}^{\sqrt{3}a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,\sqrt{3}\,y} f(x,y)\,dx\right]dy.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,\sqrt{3}\,y} f(x,y)\,dx\right]dy

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