Inverta a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
O que se pede: inverter a ordem de integração, isto é, escrever uma integral da forma
determinando explicitamente
e as funções
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
varia de até . - Para cada
fixo, varia entre a reta (limite inferior) e a curva (limite superior). -
.
Passo 2
Descrever geometricamente a região
no plano
dada pelos limites:
Explicação das curvas:
- A reta
é uma reta através da origem com coeficiente angular . - A curva
corresponde à semicircunferência positiva da equação
ou seja, é a semicircunferência superior de centro
e raio
.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para localizar bem a região. Igualando:
Calcular:
Multiplicando por
:
Logo
ou
. Substituindo em
obtemos os pontos de interseção
e
.
Passo 4
Determinar o intervalo de variação de
na região
. Observando as interseções,
vai desde
(no ponto
) até
(no ponto
). Portanto
Passo 5
Para um
fixo em
, encontrar as restrições em
que definem
. As duas desigualdades originais
devem ser satisfeitas simultaneamente.
Da primeira desigualdade:
Da segunda desigualdade (quadrática em
):
que significa que
está entre as raízes da equação quadrática
. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, pela segunda desigualdade temos
Passo 6
Interseção das condições em
: precisamos dos
que satisfaçam simultaneamente
além de
. Como
para
(verificação: nas extremidades há igualdade e os termos são contínuos, e pode-se mostrar que
sempre), o limite superior relevante é
. O limite inferior relevante é a raiz esquerda da quadrática, isto é
Também é fácil verificar que
para todo
, então o intervalo em
fica bem definido. Assim, para cada
temos
Passo 7
Conclusão: a integral com a ordem invertida é