Escreva quando uma função é diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva quando uma função é diferenciável. Não há dados numéricos no problema, é uma pergunta conceitual: quero explicações e critérios para saber se uma função é diferenciável num ponto e em um intervalo. Vou listar definições, propriedades, testes práticos e exemplos detalhados para você entender passo a passo.
Passo 2
Definição básica (diferenciabilidade num ponto). Uma função
é diferenciável no ponto
se existir o seguinte limite finito:
Explicando devagar:
-
é chamado de derivada de em . - O numerador
mede a variação de quando a entrada passa de para . - O denominador
é a variação da entrada. - O quociente
é a taxa média de variação (inclinação do segmento secante). - O limite
verifica se essa taxa média tem um valor único quando a variação da entrada tende a zero — esse valor é a taxa instantânea (inclinação da tangente).
Se esse limite existe e é um número finito, entãoé diferenciável em .
Passo 3
Definição equivalente com
e noção de derivada lateral. Alternativa prática:
Para uma função definida por partes é útil verificar as derivadas laterais:
Condição prática:
é diferenciável em
se, e somente se, existirem ambos
e
e
(igual valor finito).
Passo 4
Propriedade importante: diferenciabilidade implica continuidade. Demonstração curta e didática:
Suponha que existe. Então
Suponha que
Multiplicando por
e tomando o limite:
Logo
, ou seja,
é contínua em
.
Observação prática: se uma função não for contínua em , ela com certeza não é diferenciável ali.
Observação prática: se uma função não for contínua em
Passo 5
Continuidade não garante diferenciabilidade — contraexemplo clássico. Considere
.
- Primeiro,
é contínua em porque . - Calcule as derivadas laterais em
:
Como
, o limite central não existe e
NÃO é diferenciável em
. Esse é um exemplo típico de “canto” ou “vértice” (corner): contínuo mas não diferenciável.
Passo 6
Pontos de atenção práticos que aparecem em provas
- Canto/aresta (corner): como em
, geralmente não diferenciável. - Cúspide (cusp): inclinações das laterais tendem a
ou a valores diferentes → não diferenciável. - Tangente vertical: se a derivada lateral tende a
, diz-se que há tangente vertical e a derivada não é finita → não diferenciável (no sentido usual). - Descontinuidade: já elimina diferenciabilidade.
- Função polinomial, exponencial, seno, cosseno, logaritmo (na sua região de definição): essas funções são diferenciáveis onde estão definidas.
Passo 7
Como checar diferenciabilidade na prática (passo a passo para a prova)
- Verificar continuidade em
. Se não for contínua, parar: não é diferenciável. - Calcular
diretamente, ou calcular as derivadas laterais e conferir igualdade. - Se a função for dada por expressão conhecida (polinômio, exponencial, trigonométrica, etc.), aplicar regras de derivação (soma, produto, quociente, cadeia) ao invés do limite — mas só faça isso se souber que as regras valem (ou seja, as funções componentes são diferenciáveis).
- Para funções definidas por partes, calcule derivadas laterais em pontos de fronteira das partes e compare.
- Para pontos finais de intervalo fechado, use derivada lateral (por exemplo, derivada à direita em
se é o menor ponto do domínio).
Passo 8
Regras úteis (formuladas para lembrar na prova)
- Soma:
. - Produto:
. - Quociente:
, desde que . - Cadeia:
.
Essas fórmulas são ferramentas para evitar refazer limite do quociente em cada exercício — mas lembrando: só são válidas quando as derivadas envolvidas existem.
Passo 9
Classes de suavidade e derivadas sucessivas
- Se
existe e é contínua num intervalo, diz-se que é da classe nesse intervalo. Ter contínua é uma condição mais forte do que apenas existir . - Se as derivadas de ordem superiores existem, fala-se em
ser duas vezes diferenciável, três vezes, etc. Em muitas provas, se precisar aplicar Taylor, é importante saber ordens de derivabilidade.
Passo 10
Diferençiação em várias variáveis (resumo curto — só para contexto)
- Para
, diferenciabilidade em significa existência de um mapeamento linear tal que
- Se
é diferenciável em , então todas as derivadas parciais existem em e (produto escalar com o gradiente). Porém, existência das derivadas parciais isoladamente NÃO garante diferenciabilidade; uma condição suficiente é que as derivadas parciais sejam contínuas numa vizinhança de .
Passo 11
Exemplos resolvidos, passo a passo (prático para prova)
Exemplo 1 — função polinomial:
Se , calcule
pelo limite.
Se
Conclusão:
é diferenciável em
(na verdade, em todo
).
Exemplo 2 — valor absoluto (já mencionado):
Se , calcule derivadas laterais em
.
Se
Como não são iguais,
não é diferenciável em
.
Passo 12
Dicas motivadoras e práticas finais
- Quando estiver na prova: primeiro cheque continuidade; depois calcule derivadas laterais se houver dúvida de canto; se for função “comum”, aplique regras.
- Sempre escreva claramente qual limite está calculando — se for limite do quociente diferença, mostre a simplificação do numerador.
- Erros comuns: confundir existência de derivada com continuidade da derivada; esquecer de verificar domínio (divisão por zero no quociente); não checar derivadas laterais em pontos de junção.
- Você consegue! Treine ex.: polinômios, raiz quadrada em 0, |x|, funções por partes e compostas. Isso cobre os casos mais comuns da prova.
Resposta
Uma função
é diferenciável em um ponto
se, e somente se, existir o limite finito
Equivalente: as derivadas laterais
e
existem e são iguais. Diferenciabilidade em um intervalo significa que
existe em todo ponto interior do intervalo (nos extremos verifica-se a derivada lateral apropriada). Diferenciabilidade implica continuidade; a recíproca não é verdadeira (ex.:
é contínua em
e não é diferenciável em
).