Escreva quando uma função é diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva quando uma função é diferenciável. Não há dados numéricos no problema, é uma pergunta conceitual: quero explicações e critérios para saber se uma função é diferenciável num ponto e em um intervalo. Vou listar definições, propriedades, testes práticos e exemplos detalhados para você entender passo a passo.

Passo 2

Definição básica (diferenciabilidade num ponto). Uma função f é diferenciável no ponto a se existir o seguinte limite finito:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando devagar:
  • f'(a) é chamado de derivada de f em a.
  • O numerador f(a+h)-f(a) mede a variação de f quando a entrada passa de a para a+h.
  • O denominador h é a variação da entrada.
  • O quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a taxa média de variação (inclinação do segmento secante).
  • O limite h\to0 verifica se essa taxa média tem um valor único quando a variação da entrada tende a zero — esse valor é a taxa instantânea (inclinação da tangente).
    Se esse limite existe e é um número finito, então f é diferenciável em a.

Passo 3

Definição equivalente com x\to a e noção de derivada lateral. Alternativa prática:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Para uma função definida por partes é útil verificar as derivadas laterais:
f'_{-}(a)=\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, \qquad f'_{+}(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Condição prática: f é diferenciável em a se, e somente se, existirem ambos f'_{-}(a) e f'_{+}(a) e f'_{-}(a)=f'_{+}(a) (igual valor finito).

Passo 4

Propriedade importante: diferenciabilidade implica continuidade. Demonstração curta e didática:
Suponha que f'(a) existe. Então
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)\quad\text{quando }h\to0.
Multiplicando por h e tomando o limite:
f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\longrightarrow 0\cdot f'(a)=0.
Logo \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a), ou seja, f é contínua em a.
Observação prática: se uma função não for contínua em a, ela com certeza não é diferenciável ali.

Passo 5

Continuidade não garante diferenciabilidade — contraexemplo clássico. Considere f(x)=|x|.
  • Primeiro, f é contínua em 0 porque \lim_{x\to0}|x|=0=f(0).
  • Calcule as derivadas laterais em 0:
f'_{-}(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{|x|-0}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1,
f'_{+}(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{|x|-0}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1.
Como f'_{-}(0)\neq f'_{+}(0), o limite central não existe e f NÃO é diferenciável em 0. Esse é um exemplo típico de “canto” ou “vértice” (corner): contínuo mas não diferenciável.

Passo 6

Pontos de atenção práticos que aparecem em provas
  • Canto/aresta (corner): como em |x|, geralmente não diferenciável.
  • Cúspide (cusp): inclinações das laterais tendem a \pm\infty ou a valores diferentes → não diferenciável.
  • Tangente vertical: se a derivada lateral tende a \pm\infty, diz-se que há tangente vertical e a derivada não é finita → não diferenciável (no sentido usual).
  • Descontinuidade: já elimina diferenciabilidade.
  • Função polinomial, exponencial, seno, cosseno, logaritmo (na sua região de definição): essas funções são diferenciáveis onde estão definidas.

Passo 7

Como checar diferenciabilidade na prática (passo a passo para a prova)
  1. Verificar continuidade em a. Se não for contínua, parar: não é diferenciável.
  2. Calcular \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} diretamente, ou calcular as derivadas laterais e conferir igualdade.
  3. Se a função for dada por expressão conhecida (polinômio, exponencial, trigonométrica, etc.), aplicar regras de derivação (soma, produto, quociente, cadeia) ao invés do limite — mas só faça isso se souber que as regras valem (ou seja, as funções componentes são diferenciáveis).
  4. Para funções definidas por partes, calcule derivadas laterais em pontos de fronteira das partes e compare.
  5. Para pontos finais de intervalo fechado, use derivada lateral (por exemplo, derivada à direita em a se a é o menor ponto do domínio).

Passo 8

Regras úteis (formuladas para lembrar na prova)
  • Soma: (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x).
  • Produto: (fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
  • Quociente: \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}, desde que g(x)\neq0.
  • Cadeia: (f\circ g)'(x)=(f'(g(x)))\cdot g'(x).
    Essas fórmulas são ferramentas para evitar refazer limite do quociente em cada exercício — mas lembrando: só são válidas quando as derivadas envolvidas existem.

Passo 9

Classes de suavidade e derivadas sucessivas
  • Se f' existe e é contínua num intervalo, diz-se que f é da classe \mathcal{C}^1 nesse intervalo. Ter f' contínua é uma condição mais forte do que apenas existir f'.
  • Se as derivadas de ordem superiores existem, fala-se em f ser duas vezes diferenciável, três vezes, etc. Em muitas provas, se precisar aplicar Taylor, é importante saber ordens de derivabilidade.

Passo 10

Diferençiação em várias variáveis (resumo curto — só para contexto)
  • Para f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, diferenciabilidade em a significa existência de um mapeamento linear L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} tal que
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\|h\|}=0.
  • Se f é diferenciável em a, então todas as derivadas parciais existem em a e L(h)=\nabla f(a)\cdot h (produto escalar com o gradiente). Porém, existência das derivadas parciais isoladamente NÃO garante diferenciabilidade; uma condição suficiente é que as derivadas parciais sejam contínuas numa vizinhança de a.

Passo 11

Exemplos resolvidos, passo a passo (prático para prova)
Exemplo 1 — função polinomial:
Se f(x)=x^2, calcule f'(1) pelo limite.
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2h+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(2+h)=2.
Conclusão: f é diferenciável em 1 (na verdade, em todo \mathbb{R}).
Exemplo 2 — valor absoluto (já mencionado):
Se f(x)=|x|, calcule derivadas laterais em 0.
f'_{-}(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1, \qquad f'_{+}(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|-0}{h}=1.
Como não são iguais, f não é diferenciável em 0.

Passo 12

Dicas motivadoras e práticas finais
  • Quando estiver na prova: primeiro cheque continuidade; depois calcule derivadas laterais se houver dúvida de canto; se for função “comum”, aplique regras.
  • Sempre escreva claramente qual limite está calculando — se for limite do quociente diferença, mostre a simplificação do numerador.
  • Erros comuns: confundir existência de derivada com continuidade da derivada; esquecer de verificar domínio (divisão por zero no quociente); não checar derivadas laterais em pontos de junção.
  • Você consegue! Treine ex.: polinômios, raiz quadrada em 0, |x|, funções por partes e compostas. Isso cobre os casos mais comuns da prova.

Resposta

Uma função f é diferenciável em um ponto a se, e somente se, existir o limite finito
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Equivalente: as derivadas laterais \displaystyle f'_{-}(a) e \displaystyle f'_{+}(a) existem e são iguais. Diferenciabilidade em um intervalo significa que f' existe em todo ponto interior do intervalo (nos extremos verifica-se a derivada lateral apropriada). Diferenciabilidade implica continuidade; a recíproca não é verdadeira (ex.: f(x)=|x| é contínua em 0 e não é diferenciável em 0).

Exercícios relacionados