Identifique as cônicas representadas pelas equações
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para identificar qual cônica essa equação representa.
Informações relevantes fornecidas: a equação envolve apenas termos quadráticos e
e um termo constante
. Não há termos mistos
nem termos lineares em
ou
.
Informações relevantes fornecidas: a equação envolve apenas termos quadráticos
Passo 2
Vamos apresentar uma forma geral útil para classificar cônicas e a regra de classificação que vamos usar. A forma geral de uma cônica no plano é
onde
são constantes. Uma maneira simples de classificar a cônica (elipse, hipérbole, parábola, ou casos degenerados) usa o discriminante
Explicando o porquê, de forma intuitiva:
- Se
temos uma hipérbole (há “sinais opostos” efetivos entre as variáveis). - Se
temos uma parábola (um dos quadrados “desaparece” efetivamente depois de coordenada apropriada). - Se
temos uma elipse ou círculo (ambas concentram os sinais dos quadrados).
Além disso, see (mesma coeficiente nos quadrados) a elipse é um caso especial: uma circunferência (círculo) — porque e aparecem com o mesmo peso, havendo simetria circular.
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes da nossa equação comparando com a forma geral. A equação original é
Colocando tudo num lado (subtraindo
):
Logo os coeficientes são:
Passo 4
Calculemos o discriminante
:
Como
, a cônica é do tipo elipse/ círculo (ou um caso elíptico). Observando que
e
(ambos iguais a
), temos o caso especial de elipse com simetria perfeita entre
e
— ou seja, uma circunferência.
Passo 5
Agora escrevemos a equação na forma padrão de uma circunferência, mostrando passo a passo como ver o centro e o raio. A equação já está em forma de soma de quadrados:
Podemos ver isto como
o que é exatamente a forma padrão de uma circunferência centrada em
com raio
. (Se houvesse termos lineares
ou
, faríamos “completar o quadrado” para obter essa mesma forma.)
Passo 6
Relembrando a definição e interpretando o resultado: a definição geométrica de circunferência (círculo) no plano é o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é constante igual ao raio. A forma padrão é
onde
é o centro e
é o raio. Comparando com nossa equação
, identificamos:
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (resumindo o método):
- Se a equação tem apenas
e com mesmos coeficientes e sem termo , é uma circunferência centrada na origem; o raio é . - Se aparecerem termos lineares, usar completar o quadrado para colocar na forma
.
Exemplo curto:centro , raio .
Resposta
Círculo de centro
e raio
.