Identifique as cônicas representadas pelas equações
x^{2}+y^{2}=3

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}=3
e pede para identificar qual cônica essa equação representa.
Informações relevantes fornecidas: a equação envolve apenas termos quadráticos x^{2} e y^{2} e um termo constante 3. Não há termos mistos xy nem termos lineares em x ou y.

Passo 2

Vamos apresentar uma forma geral útil para classificar cônicas e a regra de classificação que vamos usar. A forma geral de uma cônica no plano é
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,
onde A,B,C,D,E,F são constantes. Uma maneira simples de classificar a cônica (elipse, hipérbole, parábola, ou casos degenerados) usa o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC.
Explicando o porquê, de forma intuitiva:
  • Se \Delta>0 temos uma hipérbole (há “sinais opostos” efetivos entre as variáveis).
  • Se \Delta=0 temos uma parábola (um dos quadrados “desaparece” efetivamente depois de coordenada apropriada).
  • Se \Delta<0 temos uma elipse ou círculo (ambas concentram os sinais dos quadrados).
    Além disso, se B=0 e A=C (mesma coeficiente nos quadrados) a elipse é um caso especial: uma circunferência (círculo) — porque x e y aparecem com o mesmo peso, havendo simetria circular.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes da nossa equação comparando com a forma geral. A equação original é
x^{2}+y^{2}=3.
Colocando tudo num lado (subtraindo 3):
x^{2}+y^{2}-3=0.
Logo os coeficientes são:
A=1,\quad B=0,\quad C=1,\quad D=0,\quad E=0,\quad F=-3.

Passo 4

Calculemos o discriminante \Delta:
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = -4.
Como \Delta=-4<0, a cônica é do tipo elipse/ círculo (ou um caso elíptico). Observando que B=0 e A=C (ambos iguais a 1), temos o caso especial de elipse com simetria perfeita entre x e y — ou seja, uma circunferência.

Passo 5

Agora escrevemos a equação na forma padrão de uma circunferência, mostrando passo a passo como ver o centro e o raio. A equação já está em forma de soma de quadrados:
x^{2}+y^{2}=3.
Podemos ver isto como
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=3,
o que é exatamente a forma padrão de uma circunferência centrada em (0,0) com raio \sqrt{3}. (Se houvesse termos lineares Dx ou Ey, faríamos “completar o quadrado” para obter essa mesma forma.)

Passo 6

Relembrando a definição e interpretando o resultado: a definição geométrica de circunferência (círculo) no plano é o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é constante igual ao raio. A forma padrão é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
onde (h,k) é o centro e r é o raio. Comparando com nossa equação (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=3, identificamos:
\text{centro }(h,k)=(0,0),\qquad r=\sqrt{3}.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumindo o método):
  • Se a equação tem apenas x^{2} e y^{2} com mesmos coeficientes e sem termo xy, é uma circunferência centrada na origem; o raio é \sqrt{\text{constante}}.
  • Se aparecerem termos lineares, usar completar o quadrado para colocar na forma (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.
    Exemplo curto: \;x^{2}+y^{2}=9\;\Rightarrow centro (0,0), raio 3.

Resposta

Círculo de centro (0,0) e raio \sqrt{3}.

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