Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada.
x(t)=\cos t, y(t)=\operatorname{sec} t,-\frac{\pi}{2}<t<0.

Passo 1

O enunciado dá as funções paramétricas \;x(t)=\cos t\; e \;y(t)=\operatorname{sec} t\; com o parâmetro variando em \;-\frac{\pi}{2}<t<0\;.
Pede-se: (a) a equação cartesiana da curva (eliminar o parâmetro) e (b) um esboço da curva indicando a direção em que ela é traçada conforme t varia no intervalo dado.
Informações relevantes fornecidas: \;x(t)=\cos t\;, \;y(t)=\operatorname{sec} t\;, \;-\frac{\pi}{2}<t<0\;.

Passo 2

Como primeira ideia para eliminar o parâmetro, usamos a definição da função secante: \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}. A partir das paramétricas temos \;x=\cos t\; e \;y=\operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}\;. Substituindo \cos t por x obtemos a relação direta entre x e y:
y=\frac{1}{x}.
Esta é a equação cartesiana da curva (a hipérbole equilateral clássica), mas ainda precisamos considerar as restrições impostas pelo intervalo de t.

Passo 3

Agora vamos achar o domínio e o contradomínio resultantes da condição -\frac{\pi}{2}<t<0. Para isso, analisamos o comportamento de \cos t nesse intervalo.
  • Sabemos que \cos t é contínua e, para -\frac{\pi}{2}<t<0, \cos t toma valores positivos entre 0 e 1. Mais precisamente, quando t\to -\frac{\pi}{2}^+ temos \cos t\to 0^+; quando t\to 0^- temos \cos t\to 1^{-}. Logo
x=\cos t\in(0,1).
  • Como y=\dfrac{1}{x}, a imagem correspondente é
y\in(1,\infty).
Portanto a curva cartesiana é a parte da hipérbole y=\dfrac{1}{x} com x restrito a (0,1) (equivalente a y>1).

Passo 4

Vou te ensinar um truque prático para esboçar essa curva na prova: desenhe o ramo da hipérbole y=\dfrac{1}{x} no primeiro quadrante e depois marque que só interessa a parte onde 0<x<1. Pontos de referência fáceis para plotar (peguei estes valores substituindo t por ângulos simples):
  • Para t=-\dfrac{\pi}{3}: \cos t=\dfrac{1}{2} então (x,y)=\left(\dfrac{1}{2},2\right).
  • Para t=-\dfrac{\pi}{6}: \cos t=\dfrac{\sqrt{3}}{2} então (x,y)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\approx(0,866,1,155).
Desenho (instruções): desenhe os eixos x e y. Trace a curva y=1/x no primeiro quadrante; destaque apenas o trecho entre a vizinhança de x=0^+ (onde y fica muito grande) até perto de x=1 (onde y tende a 1). Marque os pontos acima para guiar o traço. Indique também a assíntota vertical em x=0 (a curva cresce sem limite quando x\to0^+).

Passo 5

Agora determinamos a direção (orientação) em que a curva é traçada quando t aumenta no intervalo -\frac{\pi}{2}<t<0.
  • Observe a monotonicidade de x(t)=\cos t: \dfrac{dx}{dt}=-\sin t. Para -\frac{\pi}{2}<t<0 temos \sin t<0, então -\sin t>0. Logo \dfrac{dx}{dt}>0: x aumenta quando t aumenta.
  • Como y=\dfrac{1}{x}, se x aumenta então y diminui.
Conclusão: à medida que t cresce de -\dfrac{\pi}{2} para 0, o ponto na curva move-se da região com x muito pequeno e y muito grande (próxima de (0^+, +\infty)) para a região próxima de (1^-,1^+). Em palavras simples: o traço vai da parte alta à esquerda do trecho (x pequeno, y grande) dirigindo-se para a direita e para baixo, aproximando-se de (1,1) quando t\to 0^-.

Resposta

y=\dfrac{1}{x},\quad x\in(0,1)
A curva é o ramo da hipérbole y=\dfrac{1}{x} no primeiro quadrante com 0<x<1 (ou seja y>1).
Direção: para t aumentando de -\dfrac{\pi}{2} a 0, a curva é percorrida do ponto com x\to0^+, y\to+\infty em direção a (1^-,1^+) (movimento para a direita e para baixo).

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