Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada.
.
Passo 1
O enunciado dá as funções paramétricas
e
com o parâmetro variando em
.
Pede-se: (a) a equação cartesiana da curva (eliminar o parâmetro) e (b) um esboço da curva indicando a direção em que ela é traçada conforme varia no intervalo dado.
Informações relevantes fornecidas: ,
,
.
Pede-se: (a) a equação cartesiana da curva (eliminar o parâmetro) e (b) um esboço da curva indicando a direção em que ela é traçada conforme
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Como primeira ideia para eliminar o parâmetro, usamos a definição da função secante:
. A partir das paramétricas temos
e
. Substituindo
por
obtemos a relação direta entre
e
:
Esta é a equação cartesiana da curva (a hipérbole equilateral clássica), mas ainda precisamos considerar as restrições impostas pelo intervalo de
.
Passo 3
Agora vamos achar o domínio e o contradomínio resultantes da condição
. Para isso, analisamos o comportamento de
nesse intervalo.
- Sabemos que
é contínua e, para , toma valores positivos entre e . Mais precisamente, quando temos ; quando temos . Logo
- Como
, a imagem correspondente é
Portanto a curva cartesiana é a parte da hipérbole
com
restrito a
(equivalente a
).
Passo 4
Vou te ensinar um truque prático para esboçar essa curva na prova: desenhe o ramo da hipérbole
no primeiro quadrante e depois marque que só interessa a parte onde
. Pontos de referência fáceis para plotar (peguei estes valores substituindo
por ângulos simples):
- Para
: então . - Para
: então .
Desenho (instruções): desenhe os eixos
e
. Trace a curva
no primeiro quadrante; destaque apenas o trecho entre a vizinhança de
(onde
fica muito grande) até perto de
(onde
tende a 1). Marque os pontos acima para guiar o traço. Indique também a assíntota vertical em
(a curva cresce sem limite quando
).
Passo 5
Agora determinamos a direção (orientação) em que a curva é traçada quando
aumenta no intervalo
.
- Observe a monotonicidade de
: . Para temos , então . Logo : aumenta quando aumenta. - Como
, se aumenta então diminui.
Conclusão: à medida que
cresce de
para
, o ponto na curva move-se da região com
muito pequeno e
muito grande (próxima de
) para a região próxima de
. Em palavras simples: o traço vai da parte alta à esquerda do trecho (x pequeno, y grande) dirigindo-se para a direita e para baixo, aproximando-se de
quando
.
Resposta
A curva é o ramo da hipérbole
Direção: para