Questão 1

Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função quadrática. Sabendo que
  • o ponto (0,-2) pertence ao gráfico de f,
  • o ponto de máximo global do gráfico de f é \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{8}\right),
    faça o que se pede.
    (a) Determine uma expressão para f.
    (b) Considere g:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R} a função g(x)=\operatorname{sen}(x).
Determine os valores de x \in[0,2 \pi] para os quais
\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informações dadas:
    • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função quadrática (ou seja, um polinômio de grau 2).
    • O ponto (0,-2) pertence ao gráfico de f. Ou seja, f(0)=-2.
    • O ponto de máximo global de f é \left(\dfrac{5}{2},\dfrac{9}{8}\right). Ou seja, a parábola tem vértice em h=\dfrac{5}{2} e k=\dfrac{9}{8}, e esse vértice é um máximo (logo a concavidade é para baixo).
    • A função g:[0,2\pi]\to\mathbb{R} é dada por g(x)=\operatorname{sen}(x).
  • O que é pedido:
    (a) Determinar uma expressão para f (uma forma conveniente e, se quiser, a forma expandida).
    (b) Encontrar os x\in[0,2\pi] tais que
    \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0.

Passo 2

Vamos usar a forma vértice (forma canônica) de uma quadrática. A forma vértice é
f(x)=a\bigl(x-h\bigr)^2 + k,
onde:
  • h e k são as coordenadas do vértice (isto é, o ponto (h,k)),
  • a é um coeficiente que determina a “abertura” e o sentido da concavidade: se a>0 a parábola tem mínimo; se a<0 a parábola tem máximo.
Aqui o vértice é \left(\dfrac{5}{2},\dfrac{9}{8}\right), então substituímos h=\dfrac{5}{2} e k=\dfrac{9}{8}. Assim
f(x)=a\Bigl(x-\dfrac{5}{2}\Bigr)^2 + \dfrac{9}{8},
com a<0 porque o vértice é um ponto de máximo. Para determinar a usamos que f(0)=-2.

Passo 3

Usando f(0)=-2 na forma vértice:
-2 = a\Bigl(0-\dfrac{5}{2}\Bigr)^2 + \dfrac{9}{8}.
Calculemos passo a passo:
\Bigl(0-\dfrac{5}{2}\Bigr)^2 = \dfrac{25}{4}.
Então
-2 = a\cdot \dfrac{25}{4} + \dfrac{9}{8}.
Subtraindo \dfrac{9}{8} dos dois lados:
-2 - \dfrac{9}{8} = a\cdot \dfrac{25}{4}.
Calcule o lado esquerdo:
-2 - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{16}{8} - \dfrac{9}{8} = -\dfrac{25}{8}.
Logo
a\cdot \dfrac{25}{4} = -\dfrac{25}{8}.
Dividindo por \dfrac{25}{4}:
a = \frac{-\dfrac{25}{8}}{\dfrac{25}{4}} = -\dfrac{25}{8}\cdot \dfrac{4}{25} = -\dfrac{4}{8} = -\dfrac{1}{2}.
Portanto a=-\dfrac{1}{2}, que é negativo como esperado.

Passo 4

Substituindo a na forma vértice, obtemos
f(x) = -\dfrac{1}{2}\Bigl(x-\dfrac{5}{2}\Bigr)^2 + \dfrac{9}{8}.
Podemos também expandir para a forma polinomial padrão. Primeiro expanda o quadrado:
\Bigl(x-\dfrac{5}{2}\Bigr)^2 = x^2 - 5x + \dfrac{25}{4}.
Multiplicando por -\dfrac{1}{2}:
-\dfrac{1}{2}\Bigl(x^2 - 5x + \dfrac{25}{4}\Bigr) = -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{2}x - \dfrac{25}{8}.
Agora some \dfrac{9}{8}:
f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{2}x - \dfrac{25}{8} + \dfrac{9}{8} = -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{2}x - 2.
Portanto temos as duas formas (vértice e polinomial):
f(x) = -\dfrac{1}{2}\Bigl(x-\dfrac{5}{2}\Bigr)^2 + \dfrac{9}{8} \qquad\text{e}\qquad f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{2}x - 2.

Passo 5

Para analisar a desigualdade \dfrac{f(x)}{g(x)}\ge 0 precisamos entender os sinais de f(x) e g(x)=\operatorname{sen}(x) em [0,2\pi], lembrando que a razão só está definida quando g(x)\neq 0. Então:
  • Zeros de g: \operatorname{sen}(x)=0 em x=0,\pi,2\pi. Nesses pontos \dfrac{f(x)}{g(x)} não está definida e, portanto, não podem ser incluídos na solução da desigualdade (exceto se o enunciado tivesse pedido outra convenção, mas por padrão excluímos pontos onde o denominador é zero).
  • Zeros de f: resolvemos f(x)=0. Usando a forma expandida:
-\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{2}x - 2 = 0.
Multiplicando por -2 para facilitar:
x^2 - 5x + 4 = 0.
Isso fatoriza como
(x-1)(x-4)=0,
logo as raízes são x=1 e x=4. Esses são pontos onde f(x)=0; nesses pontos a razão é 0 (desde que g(x)\neq 0), o que satisfaz \ge 0.

Passo 6

Agora fazemos um “mapa de sinais” simples.
  • Como a=-\dfrac{1}{2}<0, a parábola abre para baixo. Assim f(x)>0 entre as raízes e f(x)<0 fora delas. Portanto:
    • f(x)>0 para x\in(1,4).
    • f(x)=0 em x=1 e x=4.
    • f(x)<0 para x\in(-\infty,1)\cup(4,\infty).
  • Para \operatorname{sen}(x) em [0,2\pi]:
    • \operatorname{sen}(x)>0 para x\in(0,\pi).
    • \operatorname{sen}(x)=0 para x=0,\pi,2\pi.
    • \operatorname{sen}(x)<0 para x\in(\pi,2\pi).

Passo 7

Combinação dos sinais para \dfrac{f(x)}{g(x)}\ge 0. Lembre-se:
  • A razão é não negativa quando f(x) e g(x) têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), ou quando f(x)=0 e g(x)\neq 0 (então a razão vale 0).
  • Devemos excluir x=0,\pi,2\pi porque aí g(x)=0 e a razão não está definida.
Analise por partes:
  1. Em (0,\pi) temos \operatorname{sen}(x)>0. Para que a razão seja \ge 0 precisamos de f(x)\ge 0. Como f(x)\ge 0 ocorre exatamente em [1,4], a interseção com (0,\pi) é
[1,\pi).
Aqui incluímos x=1 (pois f(1)=0 e \operatorname{sen}(1)\neq 0) e excluímos \pi (pois \operatorname{sen}(\pi)=0).
  1. Em (\pi,2\pi) temos \operatorname{sen}(x)<0. Para que a razão seja \ge 0 precisamos de f(x)\le 0. Sabemos que f(x)\le 0 ocorre para x\in(-\infty,1]\cup[4,\infty). Intersecando com (\pi,2\pi) (lembrando que \pi\approx 3{,}1416 e 4\approx 4{,}0):
  • A parte (\pi,2\pi)\cap(-\infty,1] é vazia (pois \pi>1).
  • A parte (\pi,2\pi)\cap[4,\infty) = [4,2\pi) (incluímos 4 porque f(4)=0 e \operatorname{sen}(4)\neq 0; excluímos 2\pi porque \operatorname{sen}(2\pi)=0).
  1. Nos pontos x=1 e x=4 temos f=0 e \operatorname{sen} diferente de zero, portanto esses pontos pertencem à solução (já foram incluídos nos intervalos acima).
  2. Pontos x=0,\pi,2\pi estão excluídos porque \operatorname{sen}(x)=0 torna a razão indeterminada.

Passo 8

Reunindo as partes, a solução da desigualdade \dfrac{f(x)}{g(x)}\ge 0 em [0,2\pi] é a união dos intervalos obtidos:
[1,\pi)\\ \cup\\ [4,2\pi),
onde lembramos que 0,\pi,2\pi não estão incluídos (no caso apenas \pi e 2\pi aparecem como extremos excluídos aqui; 0 não aparece porque não satisfaz a desigualdade e, além disso, \operatorname{sen}(0)=0 causa indeterminação).

Resposta

f(x) = -\dfrac{1}{2}\Bigl(x-\dfrac{5}{2}\Bigr)^2 + \dfrac{9}{8} = -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{5}{2}x - 2.\n
x \in [1,\pi)\\ \cup\\ [4,2\pi).

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