Questão 1
Seja
uma função quadrática. Sabendo que
- o ponto
pertence ao gráfico de
,
- o ponto de máximo global do gráfico de
é
,
faça o que se pede.
(a) Determine uma expressão para
.
(b) Considere
a função
.
Determine os valores de
para os quais
faça o que se pede.
(a) Determine uma expressão para
(b) Considere
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
-
Informações dadas:
-
é uma função quadrática (ou seja, um polinômio de grau 2). - O ponto
pertence ao gráfico de . Ou seja, . - O ponto de máximo global de
é . Ou seja, a parábola tem vértice em e , e esse vértice é um máximo (logo a concavidade é para baixo). - A função
é dada por .
-
-
O que é pedido:
(a) Determinar uma expressão para(uma forma conveniente e, se quiser, a forma expandida).
(b) Encontrar ostais que
Passo 2
Vamos usar a forma vértice (forma canônica) de uma quadrática. A forma vértice é
onde:
-
e são as coordenadas do vértice (isto é, o ponto ), -
é um coeficiente que determina a “abertura” e o sentido da concavidade: se a parábola tem mínimo; se a parábola tem máximo.
Aqui o vértice é
, então substituímos
e
. Assim
com
porque o vértice é um ponto de máximo. Para determinar
usamos que
.
Passo 3
Usando
na forma vértice:
Calculemos passo a passo:
Então
Subtraindo
dos dois lados:
Calcule o lado esquerdo:
Logo
Dividindo por
:
Portanto
, que é negativo como esperado.
Passo 4
Substituindo
na forma vértice, obtemos
Podemos também expandir para a forma polinomial padrão. Primeiro expanda o quadrado:
Multiplicando por
:
Agora some
:
Portanto temos as duas formas (vértice e polinomial):
Passo 5
Para analisar a desigualdade
precisamos entender os sinais de
e
em
, lembrando que a razão só está definida quando
. Então:
-
Zeros de
: em . Nesses pontos não está definida e, portanto, não podem ser incluídos na solução da desigualdade (exceto se o enunciado tivesse pedido outra convenção, mas por padrão excluímos pontos onde o denominador é zero). -
Zeros de
: resolvemos . Usando a forma expandida:
Multiplicando por
para facilitar:
Isso fatoriza como
logo as raízes são
e
. Esses são pontos onde
; nesses pontos a razão é
(desde que
), o que satisfaz
.
Passo 6
Agora fazemos um “mapa de sinais” simples.
-
Como
, a parábola abre para baixo. Assim entre as raízes e fora delas. Portanto: -
para . -
em e . -
para .
-
-
Para
em : -
para . -
para . -
para .
-
Passo 7
Combinação dos sinais para
. Lembre-se:
- A razão é não negativa quando
e têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), ou quando e (então a razão vale ). - Devemos excluir
porque aí e a razão não está definida.
Analise por partes:
- Em
temos . Para que a razão seja precisamos de . Como ocorre exatamente em , a interseção com é
Aqui incluímos
(pois
e
) e excluímos
(pois
).
- Em
temos . Para que a razão seja precisamos de . Sabemos que ocorre para . Intersecando com (lembrando que e ):
- A parte
é vazia (pois ). - A parte
(incluímos porque e ; excluímos porque ).
-
Nos pontos
e temos e diferente de zero, portanto esses pontos pertencem à solução (já foram incluídos nos intervalos acima). -
Pontos
estão excluídos porque torna a razão indeterminada.
Passo 8
Reunindo as partes, a solução da desigualdade
em
é a união dos intervalos obtidos:
onde lembramos que
não estão incluídos (no caso apenas
e
aparecem como extremos excluídos aqui;
não aparece porque não satisfaz a desigualdade e, além disso,
causa indeterminação).