Seja
a função dada por
(a) Derive a função
.
(b) A reta
é tangente ao gráfico de
? Justifique sua resposta.
(b) A reta
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Derivar a função dada.
- (b) Verificar se a reta
é tangente ao gráfico de e justificar.
Informações dadas:
Observação sobre domínio: a expressão
exige
, mas em
o termo
fica da forma
e portanto não está bem definida ali. Logo, vamos trabalhar para
.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão para facilitar a derivação (válido para
). Reescrevendo o segundo termo:
Logo, para
,
Passo 3
Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (explicando cada coisa):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra da potência (power rule): para
com real, temos
Aqui
é o expoente e
é a variável; por exemplo, se
então
. Se
então
.
- Composição simples já foi evitada pela simplificação; aplicaremos a regra da potência diretamente.
Passo 4
Aplicamos as regras termo a termo em
.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo (usar regra da potência):
Como há um sinal menos entre os termos, juntando:
Podemos também escrever de forma com radical:
Passo 5
Para responder (b) precisamos verificar se existe um ponto
no domínio tal que a reta
seja tangente ao gráfico de
nesse ponto. As condições para tangência são:
- O ponto
deve estar sobre a reta , ou seja . - A inclinação da reta tangente ao gráfico em
deve ser igual à inclinação da reta dada. A reta é horizontal, então sua inclinação (coeficiente angular) é . Portanto precisamos também que .
Resumindo, buscamos
tal que
Passo 6
Primeiro resolvemos
. Usando a expressão obtida:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando por
(válido pois
para
):
Note que
, então
Tomando potência
em ambos os lados:
Então o único candidato no domínio é
.
Passo 7
Agora verificamos
. Usando a forma simplificada
:
Portanto
e
(já garantido pela resolução de
). Como ambas as condições de tangência são satisfeitas em
, concluímos que a reta
é sim tangente ao gráfico de
, no ponto
.
Resposta
(a)
(b) Sim. A reta é tangente ao gráfico de
em
; ponto de tangência
.
(b) Sim. A reta