Seja f a função dada por
f(x)=x^{2}-\frac{4 x}{\sqrt{x}}
(a) Derive a função f.
(b) A reta y=-3 é tangente ao gráfico de f ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Derivar a função dada.
  2. (b) Verificar se a reta y=-3 é tangente ao gráfico de f e justificar.
Informações dadas:
f(x)=x^{2}-\frac{4x}{\sqrt{x}}.
Observação sobre domínio: a expressão \sqrt{x} exige x\ge 0, mas em x=0 o termo \dfrac{4x}{\sqrt{x}} fica da forma \dfrac{0}{0} e portanto não está bem definida ali. Logo, vamos trabalhar para x>0.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão para facilitar a derivação (válido para x>0). Reescrevendo o segundo termo:
\frac{4x}{\sqrt{x}} = 4\cdot\frac{x}{x^{1/2}} = 4x^{1-1/2}=4x^{1/2}=4\sqrt{x}.
Logo, para x>0,
f(x)=x^{2}-4\sqrt{x}.

Passo 3

Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (explicando cada coisa):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Regra da potência (power rule): para \,g(x)=x^{n}\, com n real, temos
g'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável; por exemplo, se g(x)=x^{2} então g'(x)=2x. Se g(x)=x^{1/2} então g'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
  • Composição simples já foi evitada pela simplificação; aplicaremos a regra da potência diretamente.

Passo 4

Aplicamos as regras termo a termo em f(x)=x^{2}-4x^{1/2}.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
Derivada do segundo termo (usar regra da potência):
\frac{d}{dx}\big(4x^{1/2}\big)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}.
Como há um sinal menos entre os termos, juntando:
f'(x)=2x-2x^{-1/2}.
Podemos também escrever de forma com radical:
f'(x)=2x-\frac{2}{\sqrt{x}}\qquad (x>0).

Passo 5

Para responder (b) precisamos verificar se existe um ponto x_{0} no domínio tal que a reta y=-3 seja tangente ao gráfico de f nesse ponto. As condições para tangência são:
  1. O ponto (x_{0},f(x_{0})) deve estar sobre a reta y=-3, ou seja f(x_{0})=-3.
  2. A inclinação da reta tangente ao gráfico em x_{0} deve ser igual à inclinação da reta dada. A reta y=-3 é horizontal, então sua inclinação (coeficiente angular) é 0. Portanto precisamos também que f'(x_{0})=0.
Resumindo, buscamos x_{0}>0 tal que
\begin{cases} f'(x_{0})=0,\\[4pt] f(x_{0})=-3. \end{cases}]

Passo 6

Primeiro resolvemos f'(x)=0. Usando a expressão obtida:
2x-\frac{2}{\sqrt{x}}=0.
Dividindo ambos os lados por 2:
x-\frac{1}{\sqrt{x}}=0.
Multiplicando por \sqrt{x} (válido pois \sqrt{x}>0 para x>0):
x\sqrt{x}-1=0.
Note que x\sqrt{x}=x^{3/2}, então
x^{3/2}=1.
Tomando potência 2/3 em ambos os lados:
x=\;1^{2/3}=1.
Então o único candidato no domínio é x_{0}=1.

Passo 7

Agora verificamos f(1). Usando a forma simplificada f(x)=x^{2}-4\sqrt{x}:
f(1)=1^{2}-4\sqrt{1}=1-4=-3.
Portanto f(1)=-3 e f'(1)=0 (já garantido pela resolução de f'(x)=0). Como ambas as condições de tangência são satisfeitas em x=1, concluímos que a reta y=-3 é sim tangente ao gráfico de f, no ponto (1,-3).

Resposta

(a) \displaystyle f'(x)=2x-2x^{-1/2}=\;2x-\frac{2}{\sqrt{x}}\quad (x>0)
(b) Sim. A reta y=-3 é tangente ao gráfico de f em x=1; ponto de tangência (1,-3).

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