Escreva a equação de Henderson-Hasselbalch para uma solução de ácido fórmico. Calcule o quociente \left[\mathrm{HCO}_{2}^{-}\right] /\left[\mathrm{HCO}_{2} \mathrm{H}\right] em (a) \mathrm{pH}=3,000; (b) \mathrm{pH}=3,744; (c) \mathrm{pH}=4,000.

Passo 1

O problema pede que se escreva a equação de Henderson–Hasselbalch para uma solução de ácido fórmico e que se calcule o quociente \left[\mathrm{HCO}_{2}^{-}\right]/\left[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}\right] nos três casos:
  • (a) \mathrm{pH}=3{,}000
  • (b) \mathrm{pH}=3{,}744
  • (c) \mathrm{pH}=4{,}000
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
  • Queremos a razão entre a base conjugada \mathrm{HCO}_{2}^{-} e o ácido fraco \mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}.
  • É necessário usar a relação entre constante de acidez K_a, pK_a e pH. Vou usar o valor tabulado da constante de acidez do ácido fórmico: K_a=1{,}8\times10^{-4} (valor típico encontrado em tabelas).

Passo 2

Derivação e explicação da fórmula que vamos usar (aulas rápidas, para você não se perder).
Quando um ácido fraco \mathrm{HA} (aqui \mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}) está em equilíbrio com sua base conjugada \mathrm{A}^{-} (aqui \mathrm{HCO}_{2}^{-}), a reação é
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{A}^{-}.
A constante de acidez é definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H}^{+}]\,[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}.
Tomando logaritmo decimal e rearranjando, obtemos a forma conhecida:
-\log_{10}[\mathrm{H}^{+}]=-\log_{10}K_a+\log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}\right).
Agora definimos \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^{+}] e \mathrm{p}K_a=-\log_{10}K_a. Substituindo, chega-se à equação de Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}\right).
Explicando cada termo:
  • \mathrm{pH} é o logaritmo negativo da concentração de \mathrm{H}^{+}.
  • \mathrm{p}K_a é o logaritmo negativo da constante de acidez do ácido.
  • [\mathrm{A}^{-}]/[\mathrm{HA}] é o quociente que queremos calcular.
Isolando o quociente:
\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}=10^{\,\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a}.
Ou seja: para encontrar [\mathrm{HCO}_{2}^{-}]/[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}] basta calcular 10^{\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a}.

Passo 3

Calcular \mathrm{p}K_a do ácido fórmico a partir do K_a que estamos usando.
Tomando K_a=1{,}8\times10^{-4},
\mathrm{p}K_a=-\log_{10}\!\left(1{,}8\times10^{-4}\right).
Para avaliar esse logaritmo: \log_{10}(1{,}8\times10^{-4})=\log_{10}(1{,}8)+\log_{10}(10^{-4}). Sabendo \log_{10}(1{,}8)\approx0{,}2553 e \log_{10}(10^{-4})=-4, temos
\log_{10}(1{,}8\times10^{-4})\approx -3{,}7447,
logo
\mathrm{p}K_a\approx 3{,}7447\approx 3{,}745.
Vou usar \mathrm{p}K_a=3{,}7447 para manter precisão nas contas.

Passo 4

Aplicar a fórmula geral para o quociente:
\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]}=10^{\,\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a}.
Agora calculamos para cada valor de \mathrm{pH}.

Passo 5

Caso (a): \mathrm{pH}=3{,}000.
Calcule o expoente:
\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a=3{,}000-3{,}7447=-0{,}7447.
Então
\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]}=10^{-0{,}7447}\approx 0{,}180.
Interpretação rápida: valor menor que 1 significa que, a \mathrm{pH}=3{,}000, o ácido predomina sobre a base conjugada.

Passo 6

Caso (b): \mathrm{pH}=3{,}744.
Calcule o expoente:
\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a=3{,}744-3{,}7447=-0{,}0007\\ (\text{aprox. }-7{,}3\times10^{-4}).
Então
\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]}=10^{-0{,}0007}\approx 0{,}9983\approx 1{,}00.
Interpretação: perto de \mathrm{p}H=\mathrm{p}K_a as concentrações de ácido e base conjugada são praticamente iguais.

Passo 7

Caso (c): \mathrm{pH}=4{,}000.
Calcule o expoente:
\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a=4{,}000-3{,}7447=0{,}2553.
Então
\frac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]}=10^{0{,}2553}\approx 1{,}80.
Interpretação: valor maior que 1 indica que, a \mathrm{pH}=4{,}000, a base conjugada \mathrm{HCO}_{2}^{-} predomina.

Passo 8

Resumo didático e motivacional (rapidinho):
  • A equação de Henderson–Hasselbalch é uma consequência direta do equilíbrio ácido/base e do uso de logaritmos. Ela te dá, em segundos, a razão [\mathrm{A}^{-}]/[\mathrm{HA}] a partir de \mathrm{pH} e \mathrm{p}K_a.
  • Quando \mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a a razão é 1 (metade ácido, metade base conjugada). Para cada unidade que o pH aumenta acima do pKa, a razão aumenta por um fator 10; para cada unidade que o pH cai abaixo do pKa, a razão diminui por um fator 10.
  • Boa notícia: com essa fórmula você resolve esses itens rapidinho na prova — respira e faz a conta da potência de 10.

Resposta

(a) \dfrac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]} \approx 0{,}180
(b) \dfrac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]} \approx 0{,}9983
(c) \dfrac{[\mathrm{HCO}_{2}^{-}]}{[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}]} \approx 1{,}80

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