Escreva a equação da hipérbole na forma reduzida e determine as interseções com os eixos coordenados.
(c) 4 y^{2}-4 x^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a curva
4y^{2}-4x^{2}=1
e pede (a) a forma reduzida da hipérbole e (b) as interseções com os eixos coordenados. O que vamos usar: a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem com eixo transverso vertical,
\frac{y^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1,
e o fato de que para achar as interseções basta substituir x=0 ou y=0.

Passo 2

Para colocar
4y^{2}-4x^{2}=1
na forma \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1, dividimos ambos os lados por 1 e organizamos:
4y^{2}-4x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{\tfrac14}\;-\;\frac{x^{2}}{\tfrac14}=1.

Passo 3

Comparando com \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1, vemos que
a^{2} = \tfrac14, \quad b^{2} = \tfrac14,
logo
a = b = \tfrac12.
Portanto a forma reduzida é
\frac{y^{2}}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} \;-\; \frac{x^{2}}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} =1.

Passo 4

Interseção com o eixo x y=0:
4\cdot0^{2}-4x^{2}=1 \;\Longrightarrow\; -4x^{2}=1 \;\Longrightarrow\; x^{2}=-\tfrac14,
não há solução real. Logo, sem interseção no eixo x.

Passo 5

Interseção com o eixo y x=0:
4y^{2}-4\cdot0^{2}=1 \;\Longrightarrow\; y^{2}=\tfrac14 \;\Longrightarrow\; y=\pm\tfrac12.
As interseções são (0,\tfrac12) e (0,-\tfrac12).

Resposta

A forma reduzida é
\frac{y^{2}}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} \;-\; \frac{x^{2}}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} =1
e as interseções com os eixos são
nenhuma no eixo x e (0,\tfrac12), (0,-\tfrac12) no eixo y.

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